课程简介
- 有关专业必需的先修课程（微积分），后继专业课程（尤其信号、图像处理等）的数学基础课。
- 内容是复变函数的微积分，解析函数的几何刻画，傅氏变换和拉氏变换的概念、性质和应用。
- 获得一种解决二维平面问题重要的复方法，积分变换部分是信号处理和图像处理的数学工具。
- 形成更科学的世界观: 函数与映射、变换的统一，扩充复平面与复球面、直线与圆的统一，围线积分与奇性统一，共形映射达成的规范域；积分变换提供一种解决问题的间接手段。
课程大纲
复数与复变函数
1.1复数及其代数运算
1.2 复数的几何表示
1.3 复数的乘幂与方根
1.4 区域
1.5 复变函数
1.6 复变函数的极限和连续性
解析函数
2.1 解析函数的概念
2.2 函数解析的充要条件
2.3 初等函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 对数函数
2.3.3 幂函数
2.3.4 三角函数和双曲函数
2.3.5 反三角函数和反双曲函数
复变函数的积分
3.1 复变函数的积分的概念
3.2 Cauchy基本定理
3.3 基本定理的推广--复合闭路定理
3.4 原函数和不定积分
3.5 Cauchy积分公式
3.6 解析函数的高阶导数
3.7 解析函数与调和函数的关系
无穷级数
4.1 复数项级数
4.2 幂级数
4.3 Taylor级数
4.4 Laurant级数
留数
5.1 孤立奇点
5.1.1 可去奇点
5.1.2 极点
5.1.3 本性奇点
5.1.4 函数的零点和极点的关系
5.1.5 函数在无穷远点的性态
5.2留数
5.2.1 留数的定义及留数定理
5.2.2 留数的计算规则
5.2.3 在无穷远点的规则
5.3 留数在定积分中的应用
共形映射
6.1 共形映射的概念
6.2 分式线性变换
6.3 唯一决定分式线性映射的条件
6.4 几个初等函数构成的映
傅立叶变换
7.1 傅立叶变换傅氏积分公式
7.2 傅氏变换和逆变换的概念
7.3 单位脉冲函数及其广义傅氏变换
7.4 傅氏变换的性质
7.5 卷积与相关函数
7.6 微分、积分方程的傅氏变换解法
拉普拉斯变换
8.1 Fourier变换的改造,问题的提出
8.2 拉氏变换的概念
8.3 拉氏变换的性质
8.4 拉氏逆变换
8.5 卷积
8.8 拉氏变换的应用
1.1复数及其代数运算
1.2 复数的几何表示
1.3 复数的乘幂与方根
1.4 区域
1.5 复变函数
1.6 复变函数的极限和连续性
解析函数
2.1 解析函数的概念
2.2 函数解析的充要条件
2.3 初等函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 对数函数
2.3.3 幂函数
2.3.4 三角函数和双曲函数
2.3.5 反三角函数和反双曲函数
复变函数的积分
3.1 复变函数的积分的概念
3.2 Cauchy基本定理
3.3 基本定理的推广--复合闭路定理
3.4 原函数和不定积分
3.5 Cauchy积分公式
3.6 解析函数的高阶导数
3.7 解析函数与调和函数的关系
无穷级数
4.1 复数项级数
4.2 幂级数
4.3 Taylor级数
4.4 Laurant级数
留数
5.1 孤立奇点
5.1.1 可去奇点
5.1.2 极点
5.1.3 本性奇点
5.1.4 函数的零点和极点的关系
5.1.5 函数在无穷远点的性态
5.2留数
5.2.1 留数的定义及留数定理
5.2.2 留数的计算规则
5.2.3 在无穷远点的规则
5.3 留数在定积分中的应用
共形映射
6.1 共形映射的概念
6.2 分式线性变换
6.3 唯一决定分式线性映射的条件
6.4 几个初等函数构成的映
傅立叶变换
7.1 傅立叶变换傅氏积分公式
7.2 傅氏变换和逆变换的概念
7.3 单位脉冲函数及其广义傅氏变换
7.4 傅氏变换的性质
7.5 卷积与相关函数
7.6 微分、积分方程的傅氏变换解法
拉普拉斯变换
8.1 Fourier变换的改造,问题的提出
8.2 拉氏变换的概念
8.3 拉氏变换的性质
8.4 拉氏逆变换
8.5 卷积
8.8 拉氏变换的应用
