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绪章绪论
本课程的主要构建思想是将数学的发展、数学思想的进化放在科学史的大背景之下，这是因为数学的形成和发展始终离不开人类对自身生活的自然世界的不懈探索，而数学又是推动科技发展的不竭动力。从2000年前对天文学中“太阳系的永恒之舞”的疑问，到现在对宇宙学中“大宇之形”的追寻，每个认识上巨大的进步或说科学上的巨大成就的取得，数学始终在其中扮演着重要的角色。所以，将数学贯穿在科学发展的脉络之中，能充分显示自然作为一个有规则和秩序的物质体系，其“本原”是背后可以支配“一切”自然现象的科学规律，而很多科学规律是利用数学书写表达出来的。
本课程也会根据内容适当选择介绍某些数理科学大家，数学理论背后的历史故事等，主要希望秉承通识教育的理念，开拓文化视野、扩大人生格局，关心国家社会及个人内心的成长。借用并修改一下美国核心文本与课程协会执行董事约瑟夫·斯科特·李的话，我们的课程是希望无论教师还是学生，能够一起不断思考和感受人类关心的那些具有深刻意涵和基础性的事物，跨越众多的学科、文明和时代——不是简单地重现过去，而且也想象未来。
如果从课程的学习中，大家能对数学的特点、思想方法及在我们生活的大千世界中的应用与地位有了较清楚一点的认识，对数理科学文化的内涵与社会价值有了多一点的理解，进而提高一点理性精神和积累一点数学素养，那就实现这门通识课程的宗旨了。 -
●0.1导言
介绍开设《数学——宇宙的语言》这门课程的的目的，主要学习内容，以及如何学习这门课程。
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第一章发掘宇宙规律的科学语言
简述数学的定义、特点、基本内容及发展演变，勾勒一个较为整体的数学，理解数学语言的广泛应用对常用的6种数学思想方法辅以实例进行系统的介绍，体会数学方法的普适性．介绍当今数学的两个全新领域——分形与混沌，感受数学新进展中的奇异。
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●1.1何谓数学——宇宙的语言
第一节，简述数学的定义、特点、基本内容及发展演变，勾勒一个较为整体的数学，理解数学语言的广泛应用．
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●1.2 常用的数学思想方法简介
第二节，对常用的6种数学思想方法辅以实例进行系统的介绍，体会数学方法的普适性．
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●1.3数学的新进展之分形与混沌
第三节，介绍当今数学的两个全新领域——分形与混沌，感受数学新进展中的奇异．
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第二章从自然数谈起
简述从自然数开始的算术运算中不断寻找更全面、更完美的数字过程，直至哈密顿四元数的发明；阐述数的理性发展之一：从哈密顿四元数思想发展出来的抽象代数体系中的群、环、域的概念和简单实例；讨论数的理性发展之二：从有限到无穷，康托尔的无穷集合论带来的数学的创新性革命。
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●2.1数的起源与发展——从自然数到哈密顿四元数
第一节，简述从自然数开始的算术运算中不断寻找更全面、更完美的数字过程，直至哈密顿四元数的发明。
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●2.2理性发展之一 ——从四元数到群、环、域
第二节，阐述数的理性发展之一：从哈密顿四元数思想发展出来的抽象代数体系中的群、环、域的概念和简单实例。
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●2.3理性发展之二——从有限到无穷
第三节，讨论数的理性发展之二：从有限到无穷，康托尔的无穷集合论带来的数学的创新性革命。
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第三章从《几何原本》谈起
简述欧几里得的《几何原本》中的基本内容，公理化方法发展经历的三个阶段；阐述欧氏几何的深远影响之一——第五公设产生的非欧几何及随之而来的几何学的解放；阐述欧氏几何的深远影响之二——在自然科学以及社会科学的各领域中广泛应用的公理化方法。
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●3.1欧几里得的《几何原本》
简述欧几里得的《几何原本》中的基本内容，公理化方法发展经历的三个阶段。
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●3.2深远影响之一：第五公设与非欧几何
阐述欧氏几何的深远影响之一——第五公设产生的非欧几何及随之而来的几何学的解放。
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●3.3深远影响之二：公理化方法
阐述欧氏几何的深远影响之二——在自然科学以及社会科学的各领域中广泛应用的公理化方法。
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第四章数形结合的典范
解析几何的诞生是人类科学研究发展过程中的一个伟大的成就.它的创始人是17世纪的法国数学家笛卡儿和费马.
数与形是数学中两个最基本的研究对象.之前的几何学致力于研究平面和空间中的结构关系,而代数学擅长对抽象的数量关系进行推理.把代数学和几何学中的精华取长补短,结合起来,就是把数与形统一起来,由此一门新的学科——解析几何诞生了. -
●4.1导论
简述解析几何的发展历史与基本思想方法。
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●4.2沟通几何与代数间的第一座桥梁——向量
给出向量的定义，并介绍向量的线性运算。
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●4.3三生万物的数学解释——线性表示
通过线性表示，初步联系代数和几何，给出向量共线和共面的代数条件。
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●4.4代数赋予向量的新名字——坐标
通过基向量，将其他向量坐标化，进而将点和几何对象代数化。
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●4.5神奇的坐标——坐标下的向量运算
通过坐标，将向量的内积，外积和混合积等运算代数化。
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●4.6几何对象的方程——以圆锥曲线为例
通过坐标，将圆锥曲线的几何属性代数化，写出相应的二次方程。
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●4.7看待世界的不同视角——坐标变换
介绍坐标变换的意义，推导相应的计算，并应用到方程化简问题中。
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●4.8空间的基本变化——几何变换
介绍几何变换的意义，推导相应的计算，并应用到变积公式的证明中。
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第五章日月星辰的低语
夜观天象是人类的原始冲动之一。浩瀚星空承载着人类无数的想象、感慨与思考。星空的奥义究竟是什么？相比于宗教和艺术上的解读，人类真正理解和研究星空的语言应该是数学。两千多年前的古希腊天文学家已经尝试用数学语言来描述天体运动，甚至构建出影响深远的“地心说”宇宙模型。托勒密的《至大论》集古希腊天文学成就之大成，直到十六世纪哥白尼才以更有力的“日心说”诠释天体的运行。在此基础上，开普勒在十七世纪初整理了第谷的天文学记录，提出了“行星运动三大定律”，“天体如何运行”这一千古之谜终得解答。
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●5.1导论
简述天文学从地心说到日心说的转变，并对天体运行之谜做出回答。
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●5.2星空中的舞蹈——星体间的角
介绍角的形式与角的度量，为研究角的函数作铺垫。
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●5.3星空解密的第一把钥匙——角的函数
介绍角函数的定义与应用，给出和证明正余弦定理。
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●5.4地球的一天与一年
给出地球的自转周期，公转周期以及黄赤交角，解释地球四季产生的原因。
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●5.5天球上的坐标
解释天球坐标的含义，并应用天球坐标记录天体运动。
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●5.6行星逆行与地心说
介绍本轮与均轮构成的地心体系,列举地心说的优点和缺陷。
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●5.7月球大小与月地距离
介绍阿里斯塔克的测量和计算月地距离的方法,并给出太阳与地球大小的定性比较。
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●5.8火星的周期
从日心说的观点，通过两次相邻火星冲间的时间，来计算火星的周期，从而说明日心说的优越性。
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●5.9火星的轨迹与三大定律
通过三角函数计算椭圆律，并介绍开普勒发现面积律和周期律的过程，思考开普勒行星三定律带来的启示。
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第六章站在巨人的肩上
对“现代数学的第一个成就”，也是“人类精神的最高胜利”的微积分做一概览，总结微积分的建构、主要思想，进而理解微积分的观念和方法；探讨人类观天产生的“千古之谜”——太阳系永恒之舞规律的破解，即牛顿从天文学中的开普勒行星运动三定律推导出万有引力定；用开普勒行星运动三定律再反过来推导万有引力定律，阐述这两个出重大突破的精要，感受微积分的威力。
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●6.1 微积分概览——数学刻画自然的威力
对“现代数学的第一个成就”，也是“人类精神的最高胜利”的微积分做一概览，总结微积分的建构、主要思想，进而理解微积分的观念和方法。
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●6.2 开普勒行星运动三定律推导万有引力定律
探讨人类观天产生的“千古之谜”——太阳系永恒之舞规律的破解，即牛顿从天文学中的开普勒行星运动三定律推导出万有引力定律。
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●6.3由万有引力定律到开普勒行星运动定律
用开普勒行星运动三定律再反过来推导万有引力定律，阐述这两个出重大突破的精要，感受微积分的威力。
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第七章数学与物理的奇妙融合
本章介绍物理学中的对称性与守恒律，利用最小作用量原理，通过拉格朗日函数的三种对称性，导出物理学中的三大守恒定律：
（1）时间均匀性——>能量守恒定律
（2）空间均匀性——>动量守恒定律
（3）空间各向同性——>角动量守恒定律。 -
●7.1何为对称、何为守恒？
对称性与守恒律的引入与简介。
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●7.2对称的抽象乐章——群与诺特定理
对称与群、诺特定理
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●7.3造物主的灵符——最小作用量原理
最小作用量原理、欧拉-拉格朗日方程
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●7.4灵符视角下的牛顿三定律
欧拉-拉格朗日方程与牛顿三大定律
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●7.5万物起源——对称性的破缺
宇称不守恒、对称性的自发破缺
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第八章电与磁的华美篇章
本章介绍麦克斯韦方程组，利用库仑定律、毕奥-萨伐尔定律与法拉第电磁感应定律推导出麦克斯韦方程组，并通过麦氏方程组导出电磁波方程与光速，实现电、磁、光的统一。
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●8.1造物主的大手笔——麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组物理学与美学解读
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●8.2电、磁、光发展史中的物理英雄
电、磁、光发展史上著名科学家与科学发现
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●8.3奇妙的场论
散度与旋度，高斯公式与斯托克斯公式
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●8.4无线电的奥秘——电磁波方程
电磁波方程的推导、电磁波的传播速度
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●8.5捕捉电磁波——赫兹实验
赫兹发现电磁波的实验
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第九章狭义相对论的数学语言
本章介绍狭义相对论。通过狭义相对论的两个基本假设：相对性原理与光速不变原理，推导出著名的洛伦兹变换，利用洛伦兹变换可以得到几个著名的相对论效应：动钟变慢、动尺缩短、质能方程，实现时空成一统。
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●9.1麦氏方程组错了吗？——经典时空观的困境
相对性原理、伽利略变换与麦氏方程的矛盾
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●9.2爱因斯坦的列车——同时的相对性
同时、同地的相对性，爱因斯坦火车实验
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●9.3最成功的“失败”实验——迈克尔逊-莫雷实验
迈克尔逊-莫雷实验、光速不变
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●9.4狭义相对论基本原理和洛伦兹变换
洛伦兹变换、相对论速度合成公式
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●9.5来自恩师的馈赠——闵科夫斯基时空
闵科夫斯基时空、闵氏度规、双生子佯谬
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●9.6意料之外，情理之中——狭义相对论效应
动尺缩短、动钟变慢、质量膨胀
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●9.7能源问题的良药——质能方程
质能方程、能源问题
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第十章大宇之形的探秘之钥
本章介绍广义相对论。通过广义相对论的两个基本假设：广义相对性原理与等效原理，可以得到著名的爱因斯坦场方程。我们还回顾了广义相对论的三大实验验证，利用球对称性和静态性，得到了爱因斯坦场方程的史瓦西真空解。
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●10.1牛顿与爱因斯坦的隔空博弈——经典引力论的困境
狭义相对论与牛顿引力理论的矛盾
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●10.2爱因斯坦的哲学V2.0——广义相对论基本原理
广义相对性原理（参考系平权）、等效原理
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●10.3时空弯曲——引力的本质
引力的本质是时空的弯曲、测地线
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●10.4广义相对论的数学语言——黎曼几何
非欧几何、流形、张量、曲率
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●10.5时空弯曲与物质运动——爱因斯坦场方程
爱因斯坦引力场方程
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●10.6广义相对论封王之战——三大实验验证
水星近日点进动、光线在引力场中的弯曲、引力红移
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●10.7一战战壕中的创举——史瓦西解与黑洞
场方程的史瓦西解、黑洞
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●10.8时空的涟漪——引力波
引力波的理论预言、实验发现
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●10.9标准宇宙模型——大爆炸宇宙论
哈勃定律、大爆炸、暗物质、暗能量
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第十一章数与形的语言之追寻
本章主要介绍了无处不在的数学语言，以及数学的思想与方法；另外讲述了行星运行的秘密。
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●11.1课程介绍
介绍本课程的课程设置有关情况。
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●11.2无处不在的数学语言（上）
介绍数学与其他多门学科的联系。
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●11.3无处不在的数学语言（中）
介绍数学的应用之一——加密通信。
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●11.4无处不在的数学语言（下）
加密通信的情况介绍。
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●11.5数学的思想与方法
介绍多种数学的思想与方法。
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●11.6行星运行之谜（上）
数学知识的具体应用。
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●11.7行星运行之谜（中）
介绍游戏背后的数学知识。
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●11.8行星运行之谜（下）
数学方法的特征。