课程简介
这门课会讲什么？
本课程使用微积分和线性代数的方法，研究三维空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。在欣赏直观图形的同时，熟悉内蕴与外蕴几何的研究方法。
课程既探究诸如跨海大桥、广州电视塔等著名建筑的造型差异，又介绍爱因斯坦的广义相对论的数学基础——黎曼几何，为数学、物理学、天文学和几何应用奠定坚实的基础。
你将收获什么？
1.初步掌握经典曲线曲面的基本理论、方法和典型实例，为相关后继课程的学习和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础；
2.认识内蕴与外蕴几何差异、掌握刻画几何对象的几何量与决定几何对象的不变量系统，在直觉欣赏与抽象论证中培养科研能力；
3.深化对数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）等内容的理解，提升数学知识的几何直观与空间想象能力。
适合什么人学习？
数学与应用数学专业学生；
与物理学、力学和工程科学相关专业学生；
对数学感兴趣的学习者。
课程大纲
课程章节
- 1. 预备知识
- 2. 曲线的局部理论
- 3. 曲面的第一基本形式
- 4. 曲面的第二基本形式
- 5. 曲面论基本定理
- 6. 测地线和测地曲率
- *7. 活动标架和外微分法
1. 预备知识
课程绪论与本章导学
1.1 三维欧氏空间中的标架
1.2 向量函数
本章小结与测试
2. 曲线的局部理论
本章定位、结构与方法思想
2.1 正则参数曲线
2.2 曲线的弧长
2.3 曲线的曲率和Frenet标架
2.4 曲线的挠率和Frenet公式
2.5 曲线论基本定理
*2.6 曲线参数方程在一点的标准展开
*2.7 存在对应关系的曲线偶
2.8 平面曲线
本章小结与测试
3. 曲面的第一基本形式
本章定位、结构与方法思想
3.1 正则参数曲面
3.2 切平面与法线
3.3 第一基本形式
3.4 曲面上正交参数网的存在性
3.5 保长对应和保角对应
3.6 可展曲面
本章小结与测试
4. 曲面的第二基本形式
本章定位、结构与方法思想
4.1 第二基本形式
4.2 法曲率
4.3 Weingarten映射和主曲率
4.4 主方向和主曲率的计算
4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开
4.6 某些特殊曲面
本章小结与测试
5. 曲面论基本定理
本章定位、结构与方法思想
5.1 自然标架的运动公式
5.2 曲面的唯一性定理
5.3 曲面论基本方程
5.4 曲面的存在性定理
5.5 Gauss定理
本章小结与测试
6. 测地线和测地曲率
本章定位、结构与方法思想
6.1 测地曲率和测地挠率
6.2 测地线
*6.3 测地坐标系和法坐标系
*6.4 常曲率曲面
*6.5 Gauss-Bonnet公式
本章小结与测试
*7. 活动标架和外微分法
本章定位、结构与方法思想
7.1 外微分式和外微分
7.2 活动标架法及其应用
本章小结与思考
