绪章绪论

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题。数学模型在生活中比比皆是。本章主要介绍什么是数学建模，说明了数学建模的意义，归纳了数学建模的过程。

●0.1数学与生活的桥梁——数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题。数学模型在生活中比比皆是。本章主要介绍什么是数学建模，说明了数学建模的意义，归纳了数学建模的过程。

第一章初等模型

初等模型指可用初等数学的方法来构造和求解的静态，线性，确定性的模型，通过初等模型的学习让大家对数学建模有初步的认识。本章立足七个生活中的例子，详细的介绍不同类型的初等模型。

●1.1导言

通过对一些实际生活中问题的分析和研究，一方面展示了如何搭建实际和数学的桥梁，另一方面展现了数学的强大应用能力.

●1.2椅子能在不平的地面上放稳吗？

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。这里面蕴含怎样的原理呢？本节主要探究椅子在什么条件下能够放稳。

●1.3双层玻璃的功效

我国北方冬天比较冷，很多房子的窗户装的是双层玻璃窗而不是单层玻璃窗户，主要是能起保暖作用。这一小节我们将建立数学模型解释这一现象。具体而言，我们会在合理的简化假设基础上，利用热传导定律，建立模型，最终得到双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少大约97%的热量损失，并分析了原因。

●1.4贷款购房

近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋买卖方式受到较大冲击而日趋萎缩，取而代之的是银行按揭贷款买房成为新的购房趋势，并日渐盛行。这对现在社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本息法，等额本金法等。而对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，给出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人必须认真考虑的。

●1.5管住嘴迈开腿

当今社会，每个人都想保持好的身材，我们可以通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的情况下，达到减轻体重并维持下去的目标。如何制定合理的减肥方案就是这一节我们需要考虑的内容。要控制体重，最主要两种方式，一种是控制饮食，一种是适当运动。在控制饮食的情况下，对人的体重的变化建立模型，发现要想达到目标体重，需要耗费的时间过长，如果要使得这个减肥的进度加快，那可以迈开腿的。

●1.6淋雨问题

当大雨来临时，人们总是习惯拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑的越快，淋雨越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想呢？本节课就以“淋雨量与跑步速度的关系”来探究并建立数学模型，从实际情况出发对不同速度雨淋雨量之间的关系做出探究。

●1.7碎纸片拼接

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。但如果借助计算机技术，开发出碎纸片自动拼接技术，提高拼接复原效率将会大大提高。

●1.8太阳能集热板的最优安装角度

随着科技的发展，清洁能源逐渐走入人们的生活中。太阳能就是非常常见的清洁能源，当搜集利用它就需要太阳能板了，而太阳能板的安装角度对太晚梦得搜集十分重要。因为太阳照射的光线和大地的水平面是成一个角度的，而太阳能热水器为了要最大限度地吸收太阳的“能量”，就必须将集热管的安装位置能和太阳入射光成90度角才是最理想的位置；所以，要想有效地利用太阳能，就必须把它安装的角度定在适当的位置。

第二章优化模型

在日常生活中，无论做什么事情，总是有多种方案可供选择，并且对应多种不同的结果。在所有可能的方案中，最合理并达到事先规定的最优目标的方案，称为最优方案，追求最优方案以达到最优目标的学科就是最优化，寻找最优方案的方法就是最优化方法。
本章将通过7个生活中的实例（分别为存储问题，森林救火问题，货机装运问题，饮料厂的生产与检修计划，选课策略，汽车生产计划，报童的诀窍）来具体讲解如何将实际问题抽象转化为优化问题，以及如何对具体的优化模型进行求解。

●2.1导言

在日常生活中，无论做什么事情，总是有多种方案可供选择，并且对应多种不同的结果。在所有可能的方案中，最合理并达到事先规定的最优目标的方案，称为最优方案，追求最优方案以达到最优目标的学科就是最优化，寻找最优方案的方法就是最优化方法。

●2.2简单优化模型

优化问题可以说是人们在工程技术，经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题，
1、设计师要再满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使得结构总质量最轻；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使得运输总费用最低，公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使得利润最高。还有投资者要选择一些股票，债券“下注”，使收益最大，而风险最小
2、有些人习惯于依赖过去的经验解决面临的优化问题，认为这样切实可行，并且没有太大风险，但是这种处理过程常常会融入决策者太多的主观因素，从而无法确认结果的最优性。
也有些人习惯于作大量的试验反复比较，认为这样真实可靠。但需要花费很多资金和人力，而且得到的最优结果基本跑不出原来设计的试验范围。
3、数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型，虽然由于建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的优化，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答，再决策科学化，定量化的呼声日益高涨的今天，这无疑是符合时代潮流和形式发展需要的。

●2.3存贮模型

工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产秩序；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。显然，这些情况下都有一个存贮量多大才合适的问题，存贮量过大，贮存费用高；贮存量太小，一次性订购费用增加，不能及时满足要求本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单的存贮模型，不允许缺货模型和允许缺货模型。前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求）。后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计。

●2.4森林救火

森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？
派的队员越多，森林的损失越小，但是救援开支会越大；派的队员少，森林损失越大，救援费用越少。所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的数目！这就是这一节要学习的森林救火模型。

●2.5货机装运

生产生活中，我们经常会遇到各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，选择哪些货物，如何搭配装载，就装得多，或所用箱子数量最少，或使获利最高。这就是装箱问题。本小节将以货机装运为例，通过建立数学规划模型，来解决这一类问题。

●2.6饮料厂的生产与检修计划

饮料厂生产某种饮料，已知4周的每周的需求量、生产能力和成本，如何安排生产计划, 满足每周的需求, 使4周总费用最小？如果4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱,检修应排在哪一周? 本节将通过建立数学规划模型来解决此类多阶段生产计划安排问题。

●2.7选课策略

当有多门选修课程供选修时，如何在满足先修课程要求和各门类课程最低数的前提下，选修门数最少，或者学分尽量多，这一节将主要通过建立0-1规划模型解决此类选课问题。

●2.8汽车生产计划

汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，每车利润及工厂每月的钢材、劳动时间现有量。本节通过建立整数规划模型，制订月生产计划，使工厂的利润达到最大。然后增加条件，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，又建立了数学模型，得到了最优计划。

●2.9报童的诀窍

人们都听过这样一首《卖报歌》吧！报童们卖报可是非常辛苦的工作，那怎样才能使得卖报的收益最大呢？本节讨论的是报童问题，而报童问题就是通过分析找出几种可能的方案。通过探究，找到一个最最优的订购方案来使得卖报的收益最大。分别考虑需求量为离散和连续两种情况的建模问题。

第三章综合评价模型

生活中有许许多多需要评判的东西，此类评价问题的解决在实际中具有广泛的意义，特别是在政治、经济、社会以及科学决策等方面都有重要的应用价值。在数学建模中，评价一个事物的好坏，往往要从许多角度考虑，才会使这件事情显得更科学，如何将被评价的对象进行客观、公正、合理的评价，就是综合评价要做的事情了。本章主要基于三个讲解不同的综合评价方法。

●3.1导言

实际生活中，我们会遇到各种各样的评价问题，比如，学生成绩的优劣，职员的优秀与否等，而我们要做出评价，往往要比较评价对象的多个“指标”，这就是综合评价问题。数学建模中，综合评价是对一个复杂系统的多个指标信息，应用定量方法（包括数理统计方法），对数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评价方法。

●3.2公平的席位分配

某学院三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），选学生代表参加会议，共有20个席位，如何公平的分配席位给三个系？本将针对这类席位的公平分配问题，通过定义公平分配的评价指标，建立Q值方法模型，给出分配方案，并与传统的“比例加惯例方法”进行比较，最后探讨席位分配的理想化准则。

●3.3职员晋升

人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。本节以职员晋升为例，介绍层次分析法建模的全过程。

●3.4学生考试成绩综合评价

随着我国教育水平的提高以及课程改革的不断深入，学生在学校期间需要学习众多的课程科目，那么我们应该如何去综合的评价一个学生的成绩，从而对学生的学习情况做出一定的判断，如果仅靠一张成绩单，是不能反映出一个学生和其他同学的区别，所以对学生的考试成绩做出综合评价和探索进行综合评价的方法是具有很强的现实意义的。本节基于成分分析和因子分析的理论，介绍其在学生成绩综合评价中的应用。

第四章预测模型

什么是预测?目前尚无严格的科学定义，人们从不同的角度有各种解说。一般可将预测理解为“鉴往知来”，即根据已知推测未知，是对未来不确定性( 随机)事件发生某种结果的测算和推断。具体而言，所谓预测是指在理论的指导下，以过去和现在的信息为基础，以科学的理论、方法和先进的计算技术为工具，对预测对象未来的演变规律和发展趋势，作出定性或定量的预见(预算与推断)，本章介绍三种常见的预测模型。

●4.1导言

什么是预测?目前尚无严格的科学定义，人们从不同的角度有各种解说。一般可将预测理解为“鉴往知来”，即根据已知推测未知，是对未来不确定性( 随机)事件发生某种结果的测算和推断。具体而言，所谓预测是指在理论的指导下，以过去和现在的信息为基础，以科学的理论、方法和先进的计算技术为工具，对预测对象未来的演变规律和发展趋势，作出定性或定量的预见(预算与推断).

●4.2牙膏的销售量

在回归模型中，如何确定影响的主要因素，以及如何描述这些因素之间的关系是非常重要的，本节以牙膏的销售量的预测为背景，讲解回归模型在预测中的应用。首先考虑影响牙膏销售量的因素有价格、广告投入，在分别考虑二者对销售量的影响之后，分别建立了无交互作用的回归模型和有交互作用的回归模型，并比较两个模型的优劣。

●4.3人口增长预测

人口预测始于1696年，当时英国社会学家G·金使用简单的数学方法对英国未来600年的人口发展进行了粗略的计算，虽然这一结果与以后的实际情况相差甚远，但他的思想却对后人的工作很有启发。假定初始人口，并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切预测未来的人口给出两个确定的模型，指数增长模型、logistic模型；然而一个人的出生和死亡是随机事件，无法准确预测，要利用随机人口模型来描述其变化过程了。

●4.4传染病模型

本节主要介绍4种常见的传染病模型SI、SIR、SIS、SAIR等。SI模型适用于只有易感者和患病者两类人群，且不会反复发作的疾病。SIS模型和SIR模型的共同特征是研究群体里至少包括两类基本人群，即易感者与染病者，但它们也是存在一定的区别。最后讲解SARS的传播，以便认识传染病的规律，为预防和控制传染病蔓延创造了重要的条件。

第五章决策模型

决策模型是用于经营决策的数学模型。由于社会经济系统错综复杂，决策因素纵横交错，任何决策者仅凭直观和经验，都难以做出最优的决策。在现代化的科学决策中，常常借助于自然科学的方法，运用数学的工具，建立各决策变量之间的关系公式与模型，用以反映决策问题的实质，把复杂的决策问题简化。本章主要介绍两种决策方法。

●5.1导言

决策模型是用于经营决策的数学模型。由于社会经济系统错综复杂，决策因素纵横交错，任何决策者仅凭直观和经验，都难以做出最优的决策。在现代化的科学决策中，常常借助于自然科学的方法，运用数学的工具，建立各决策变量之间的关系公式与模型，用以反映决策问题的实质，把复杂的决策问题简化。

●5.2汽车选购

在建模案例中，有许多取自经济、社会等领域的关于决策、排序和分配等方面的问题。对这类问题，常采用多属性决策来进行处理。本节以多属性决策在汽车选购中的应用为例介绍多属性决策的基本理论与方法。

●5.3基于Markov链的决策建模

马尔可夫决策过程是序贯决策的数学模型，用于在系统状态具有马尔可夫性质的环境中模拟智能体可实现的随机性策略与回报。它的理论基础是马尔可夫链，马尔可夫链是一种特殊的随机过程。在应用方面被用于机器学习中强化学习问题的建模。通过使用动态规划、随机采样等方法，它也可以求解使回报最大化的智能体策略，并在自动控制、推荐系统等主题中得到应用。本节立足马尔科夫链的定义、一步转移矩阵的计算，C-K方程，平稳分布，讲解Markov链三各方面的应用。