绪章绪论

介绍高等数学在经济金融中的运用及高等数学的起源发展及作用

●0.1高等数学在经济金融中的运用

介绍高等数学在经济金融中的运用

●0.2高等数学的起源发展及作用

介绍高等数学的起源发展及运用

第一章函数与极限

本章首先讲解高等数学的主要研究对象：初等函数。然后讲解研究数列以及函数的基本工具：极限。详细介绍数列极限以及函数极限的概念与性质、极限的存在准则：单调有界定理与夹挤定理、极限的四则运算法则以及复合函数的极限运算法则等。随后给出一类特殊但很重要的极限：无穷小与无穷大。为了计算未定式的极限，首先证明了两个重要的极限，然后引入无穷小的阶概念，并详细讲解了求0/0型未定式的等价无穷小替换定理。随后讲解了函数在一点连续及其局部性质，以及间断点的概念，给出了求连续函数极限的方法：代入法。其后证明了初等函数在其定义区间上的连续性。最后介绍了闭区间上连续函数所具有的整体性质：有界性定理，最值定理，介值定理与零点定理。本章所掌握的计算未定式极限的方法，将为第二章导数与微分以及后续章节的学习打下坚实基础。

●1.1初等函数的概念

本节先讲解函数的一般概念，接着介绍高中阶段不很熟悉的正切函数、余切函数、正割函数、余割函数及其相关的三角恒等式；然后讲解反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余割函数这四个反三角函数以及相关的恒等式。随后讲解函数的四个简单几何性质，函数的四则运算与复合运算。最后给出基本初等函数以及初等函数的概念。

●1.2数列的极限

本节首先讲解数列极限的概念，证明了数列极限的唯一性、有界性、保号性，以及数列的子列极限的性质；然后证明了数列极限的四则运算法则。最后讲解了数列极限的两个存在准则：夹挤定理与单调有界定理。应用单调有界定理与伯努利不等式证明了数列
（1+1/n）^n的极限为无理数e。

●1.3函数的极限

本节先讲解当自变量趋向于正无穷时函数极限的概念，然后讲解了当自变量趋向于固定值时函数极限的概念，并给出单侧极限的概念。最后，以自变量趋向于固定值的情形为例，证明了函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性，以及刻画函数极限与数列极限关系的海涅定理。

●1.4无穷小与无穷大

本节首先讲解无穷小的定义，无穷小与函数极限关系定理。然后证明了无穷的运算法则：有限个无穷小的和或差仍是无穷小；常数或有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。本节最后讲解了无穷大的定义，证明了无穷小与无穷大的关系定理。

●1.5极限的运算法则

本节证明了函数极限的四则运算法则与复合函数极限的运算法则。

●1.6函数极限的存在准则与两个重要极限

本节首先讲解了两个极限的存在准则：函数极限的夹挤定理，函数单侧极限的单调有界定理。然后利用夹挤定理结合几何方法，证明了两个重要的极限之一：函数sinx/x当x→0时的极限为1。最后，利用函数极限的夹挤定理，证明了两个重要的极限之二： 函数(1+1/x)^x当x→∞时的极限为e。

●1.7无穷小的比较

本节首先介绍高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小，以及k阶无穷小的定义，然后证明：等价无穷小的充要条件是二者之差是更高阶的无穷小。最后证明了等价无穷小替换定理。

●1.8函数的连续性与间断点

本节首先讲解函数在一点处连续的定义，并给出左连续、右连续的概念。然后证明了正弦函数与余弦函数都是定义域上的连续函数。最后讲解了函数间断点的定义，按照函数在间断点处左、右极限是否均存在，将间断点化分为第一类和第二类。

●1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

本节首先证明：两个在同一点处连续的函数的和、差、积、商（假设存在）仍在该点处连续。然后给出反函数的连续性定理：在某区间上单调连续的直接函数的反函数在其定义域上也是连续函数，且具有相同的单调性。随后讲解了复合函数的连续性定理。最后证明了初等函数在其定义区间上都是连续函数。并由此得到求连续函数极限的代入法。

●1.10闭区间上连续函数的性质

本节讲解了闭区间上连续函数所具有的整体性质：有界性定理、最大最小值定理、零点定理、介值定理，及其在证明连续函数的相关特性问题中的应用。

●1.11第一章知识点小结

总结回顾，知识点整理

●1.12第一章习题

利用习题掌握知识点，融会贯通，提高与巩固知识

第二章导数与微分

微积分学包括微分学和积分学两个部分，而微分学又分为一元函数微分学和多元函数
微分学。本章我们来讨论一元函数微分学。本章将从实例出发引入一元函数导数与微分的概念，并用极限加以精确定义。导数反映了函数相对于自变量的变化快慢程度，即变化率问题。导数在几何上可以理解为曲线在一点处的切线斜率。接着讨论函数求导的一般法则（四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则）以及不同形式表示的函数(即显函数、隐函数及由参数方程所确定的函数)的求导方法，进而导出全部基本初等函数的导数公式。
微分是与导数概念紧密相关的另一个重要概念，它给出了函数在局部范围内的线性近似。随后讨论基本初等函数的微分公式和微分运算法则等。

●2.1导数的概念

本节从两个实例出发引入一元函数导数的概念，并用极限加以精确定义。导数本质上反映了函数相对于自变量的变化快慢程度，即变化率问题。导数的几何意义：曲线在一点处的切线斜率。然后用定义给出了几个基本初等函数的导数公式。最后讨论函数的可导性与函数的连续性之间的关系。

●2.2函数的求导法则

本节介绍导数的几个基本法则：四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则。以及前一节中未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。借助于这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便的求出常见的初等函数的导数。

●2.3高阶导数

将导函数作为考虑对象，可以继续讨论它的可导性，将其导函数的导数称为原来函数的二阶导数。同理可以考虑三阶导数、n阶导数等，进而讨论了一些常见函数的高阶导数。并讨论函数的高阶导数的运算法则，以及莱布尼兹公式。

●2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

这一节给出了显函数和隐函数的定义，然后给出了无需将隐函数显化而直接求导的方法以及对数求导法。讨论了参数方程所确定的函数的求导问题，并给出了求导公式，并讨论了如何求其二阶导数的问题。

●2.5函数的微分及应用

微分是与导数概念紧密相关的另一个重要概念，它给出了函数在局部范围内的线性近似，即在导数不为零的前提下是函数增量的线性主部。随后讨论基本初等函数的微分公式、微分运算法则、四则运算的微分运算法则以及复合函数的微分运算法则。

●2.6第二章习题

此部分是对第二章所学内容总结、巩固与提高。

第三章微分中值定理与导数的应用

本章是高等数学（一）微分学核心部分，主要学习用导数和微分研究函数性质的理论基础----微分中值定理以及用这些定理结论研究函数性质的方法，内容包括中值定理及其应用，洛必达法则及五种类型未定式极限的确定，函数极值概念的理解及极值的判断，函数极值与最值的计算，函数单调性与凹凸性的判断，函数曲线渐近线的确定和用导数研究函数形态及函数作图.

●3.1微分中值定理

费马（Fermat）引理、罗尔（Rolle）中值定理及其应用、拉格朗日(Lagrange)中值定理及其应用、柯西(Cauchy)中值定理及其应用。罗尔中值定理是基础，拉格朗日中值定理是核心，也叫作微分中值定理，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。罗尔中值定理的应用讨论了三个问题：①与零点定理结合解决方程根的唯一性;②研究导函数的零点;③证明含一个中值的等式；拉格朗日中值定理的应用讨论了如何用拉格朗日中值定理证明等式与不等式；柯西中值定理的应用讨论了用柯西中值定理证明有关中值的等式.

●3.2洛必达法则

本小节以柯西定理为基础，给出了未定式的洛必达法则，在此基础上解决了和差、乘积、幂指结构五种类型未定极限的解决办法

●3.3泰勒公式

通过微分的学习，在函数可微的从条件下可以用线性函数近似表示函数，给出了以直代曲的思想。如果函数具有n+1阶导数，就可以用n次多项式函数在更大的一个范围内表示函数，这就是本节的泰勒中值定理解决的问题，作为泰勒中值定理的应用我们讨论了以下四个问题：①泰勒公式在近似计算中的应用； ②利用泰勒公式证明不等式；③利用泰勒公式证明等式；④利用泰勒公式求极限.

●3.4函数单调凹凸性

有些函数在其定义域上单调性不变，称这种函数为单调函数.有些函数在它的定义域上不是单调的，但是在定义域的某一部分区间上是单调的，把这种区间称为函数的单调区间.本小节以导数为工具，给出了利用导数符号判断函数的单调性及确定单调区间的方法。
给出曲线的凹凸性与拐点的定义，以二阶导数为基础给出了函数曲线的凹凸性与拐点的判断方法。

●3.5函数极值与最值

本节给出了极值的定义，给出了函数取得极值的必要条件和第一充分条件与第二充分条件。在极值的基础上给出了求闭区间上连续函数最值的方法： ① 若在区间上只有一个极值，则极大值就是区间上的最大值；极小值就是区间上的最小值.② 若是区间上的单调函数，则最值在区间的端点处取得.③ 若在区间上的驻点和不可导点分别记为，则先求出在这些点的值以及在端点和处的值，然后再加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。

●3.6函数图形

理解函数渐近线的概念，掌握函数斜渐近线的极限求法；能综合函数的单调性、凹凸性、极值、拐点、渐近线等性态了解函数图形。

●3.7导数应用中的不等式证明

利用三种方法证明不等式：利用函数单调性证明不等式；利用函数最值证明不等式；利用凹凸性证明不等式

●3.8第三章习题

此部分是对第三章所学内容总结、巩固与提高。

第四章不定积分

本章讲不定积分的概念、性质和计算方法。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，两者概念不相同，却有着紧密的联系，两者运算是互逆的。
本章重点：不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元法与分部积分法；本章难点：不定积分的概念及性质，凑微分法。

●4.1不定积分的概念与性质

理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质。

●4.2不定积分换元法

掌握第一换元积分法和第二换元积分法。对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。第二换元积分法主要涉及三角代换、根式代换、倒代换，其他换元法不做要求。

●4.3分部积分法

掌握并理解分部积分公式，熟悉常见利用分部积分法计算不定积分的被积函数。

●4.4第四章习题

此部分是对第四章所学内容总结、巩固与提高。