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第一章《数学物理方程》绪论
19世纪，《数学物理方程》得名，又名《偏微分方程》。我们的目标是将本课程努力建设成为新时代的应用偏微分方程金课。 学习《数学物理方程》，掌握偏微分方程模型的工业与科技由来与建模过程，熟悉模型分析、模型计算、模型应用，获取“数学建模与计算”这把研究世界的钥匙；掌握AI时代数据机理建模；养成活学活用数学与交叉科学的习惯、思维和能力，成长为卓越的新时代高素质人才。主要框架： “1+3+4+N”，即一把“钥匙”：数学建模与计算三种方程：波动方程、热传导方程、调和方程四种方法：分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法N种应用与交叉：每位同学拥有至少一个应用领域兴趣点，汇集成N种课程学习资源
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●1.1偏微分方程概述
偏微分方程历经两百多年的发展，成为了数学、应用科学和工程、社会诸多领域的重要学科子体系。本节介绍偏微分方程的发展历程以及本课程教学内容、教学方法、教学设计，并附上了参考文献。
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●1.2形形色色的PDEs
科学、技术、工程、社会等诸多领域孕育了形形色色的分、偏微分方程。本节介绍33类偏微分方程，包括线性、非线性偏微分方程/方程组。
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●1.3数理方程历史与发展趣谈
从典型案例出发，讲解偏微分方程的点滴历史和数学家的争论。主要讲解了热传导方程和波动方程，涉及到温室效应、乐器弦振动。同时介绍了偏微分方程在当代科技和生活中的应用。
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第二章偏微分方程模型
本章学习三种典型的偏微分方程，含热传导方程、弦振动方程、Laplace方程；给出定解条件，建立完整偏微分方程模型。主要方法是依据物理规律建立数学模型。讲解了偏微分方程模型的迭代原理和齐次化原理。
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●2.1三类典型方程分
依据热传导规律、弦振动规律、电磁场规律分别构建了热传导方程、弦振动方程、Laplace方程，获得了三类典型偏微分方程。
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●2.2完整模型——定解问题
给出初始值条件、边界值条件，和三类典型方程共同形成了定解问题（完整模型）。剖析线性定解问题的分类方法、叠加原理，讲解了非齐次方程的齐次化原理和物理解释。
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第三章常微分方程特征值问题
常微分方程的特征值问题是分离变量法求解三类线性方程混合型问题的基础。本章主要介绍常微分方程求解的基本步骤以及基本理论（Sturm-Liouville定理）
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●3.1特征值问题解法
本节以具有第一类齐次边界条件的二阶常系数常微分方程为例讲解常微分方程非平凡解的求解方法，并引进特征值以及特征函数的定义。
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●3.2Sturm-Liouville定理及应用
本节介绍常微分方程特征值问题领域著名的“Sturm-Liouville”定理以及性质。特别是解的存在性、正交性、收敛性等。
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第四章分离变量法
本章将向大家呈现求解线性偏微分方程混合型（初边值）问题的解法：分离变量法。具体包括分离变量法的基本步骤、非齐次方程与非齐次边界问题的处理等。
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●4.1分离变量六步法
根据分离变量求解3类线性偏微分方程的步骤，我们将分离变量法总结为“六步法”。
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●4.2方法分析与拓展
在自然界中，我们遇到的方程未必都是齐次的，本节我们向大家展示如何求解非齐次方程以及非齐次边界问题
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第五章行波法
本章我们讲解求线性波动方程柯西问题的方法：行波法。
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●5.1一维情形
针对一维标准波动方程的柯西问题，我们将推导著名的“达朗贝尔”公式。
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●5.2高维波动方程
本节主要介绍三维波动方程的“球平均法”以及著名的“惠更斯原理”。
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第六章傅立叶变换
本章我们向大家介绍求解线性方程的另一个重要方法：傅立叶变化法。
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●6.1傅立叶变换的定义与性质
本节我们从傅立叶级数出发引进傅立叶变换以及逆变换的定义并介绍相关的性质及证明思想。
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●6.2傅立叶变换的应用
本节我们利用傅立叶变换、傅立叶逆变换的定义及性质求解热传导方程以及弦振动方程的柯西问题。
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第七章格林函数法
本章我们介绍求解Laplace方程边值问题的主要方法：格林函数法
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●7.1格林公式及其应用
通过高斯公式，我们引进第一、第二格林公式，并利用格林公式证明解的唯一性，以及解存在的边界条件的提法。
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●7.2Laplace方程的球对称解
Laplace方程的球对称解是构造格林函数的基础，我们通过球坐标以及极坐标变换分别求解三维以及二维Laplace方程的球对称解。
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●7.3格林函数
格林函数是求解Laplace方程的基本方法。本节，我们向大家讲解格林函数的构造，进而推导出Laplace方程完全由边界信息决定的积分表达式。
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●7.4电象法
本节通过电象法求解半空间以及球域上Laplace方程的边值问题。
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第八章有趣的话题
本章介绍偏微分方程及其应用的有趣话题，包括偏微分方程差分解法、有趣的正问题、偏微分方程反问题、数据机理建模等。这些有趣的话题是开放的、引导性的，希望每位同学拥有至少一个应用领域兴趣点，并让这些兴趣点汇集成N种课程学习资源，成为学生学习与研究的重要“营养”。
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●8.1椭圆型方程差分方法与可视化
介绍差分方法的基本思想和具体步骤，并以椭圆型方程定解问题为例给出差分格式。利用MatLab软件编程计算获得了数值解，通过数值计算结果进行近似解的误差估计与分析。
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●8.2抛物型方程差分方法与可视化
介绍差分方法的基本思想和具体步骤，并以抛物型方程定解问题为例给出差分格式。利用MatLab软件编程计算获得了数值解，通过数值计算结果进行近似解的误差估计与分析。
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●8.3激波管问题
激波管是用来产生激波的装置，在空气动力学等领域有重要应用。激波管的研究为引入非线性双曲型方程的基本概念提供了一个有意思的框架，可用来测试处理不连续问题的数值方法。本节介绍四种数值求解格式并进行了优缺点比较。
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●8.4肿瘤扩散的PDEs模型与计算
用PDEs描述肿瘤生长模型已生命医学领域的研究热点。把乳腺癌中的原位管癌扩散问题归结为一个含自由边界条件的抛物型方程定解问题。数值模拟验证了算法的有效性与合理性。肿瘤扩散的PDEs模型研究对医学临床试验与治疗方案设计具有重要意义。
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●8.5反问题专题趣谈
数学上正问题和反问题是相对应的。应用上，识别、控制、设计问题均为反问题。本节给出正反问题的具体例子，归纳给出正反问题的数学含义。以抛物型方程逆时反问题为例分析了反问题的不适定性，给出了稳定化数值算法，进行数值模拟。这些理论和方法可应用到其它各类反问题中。
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●8.6数据机理建模的PDEs方法
数据机理建模是基于数据后面的物理或其它相关规律构建数学模型，往往是微分方程、积分方程模型。本节介绍了两类数据机理建模：图像处理的PDEs方法、金融数据波动的PDEs方法。希望同学们获得新收获，并提出新的有趣话题。