第一章函数与极限

函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分研究的基本工具。极限的思想萌芽得很早，割圆术、截杖问题都体现了极限的思想。直到19世界末，大数学家柯西和威尔斯特拉在总结了前人研究的基础上提出了极限的ε-δ语言定义，打开了微积分学的大门。关于极限的基本理论和计算方法，在微积分的学习和应用中十分重要。

●1.1函数

三角函数和反三角函数是两类重要的基本初等函数，中学阶段已经学习了部分三角函数，这一节将补充介绍三角函数中的正割函数和余割函数，以及四个反三角函数。

●1.2极限

战国时期，庄子提出：一尺之锤，日取其半，万世不竭。有限的长度可以进行无限的分割。数学家刘辉在割圆术中，通过不断增加圆内接 正多边形的边数，近似求出圆的面积。直观上看，什么是极限呢？极限又有哪些重要的性质呢？

●1.3极限存在定理和两个重要极限

夹逼定理和单调有界准则是极限的两个重要定理，通常被用于证明和求解某些具有特定结构的函数极限。两个重要的极限公式向我们展示了数列和函数奇妙的变化规律。

●1.4连续性

在我们身边，很多现象都是连续变化的，比如气温的升高或降低，时间的流逝等等。这些现象反映在函数上，就是函数的连续性。当我们画一条连续的曲线时，笔尖不用离开纸面就可以完成。

第二章导数与微分

导数研究的是因变量相对于自变量的变化率，比如物体的运动速度、经济的发展速度、体内药物分解和吸收的速度等等。要解决这些问题，需要引入导数的概念。而微分则是研究当自变量有微小变化时，相应的函数值变化的近似值的重要手段。

●2.1导数的定义

导数概念的形成源于几何学中切线的斜率问题以及物理学中运动的瞬时速度问题。

●2.2函数的求导法则

不同的函数，求导数的方法也不尽相同，掌握函数的求导法则，能过计算函数的导数，就可以进一步讨论导数在实际中的应用。

●2.3微分概念

实际生活中，有时需要了解当自变量有微小的变化时，函数改变了多少，而对于比较复杂的函数，传统的求增量的方法也很复杂，在精确度允许的情况下，可以用微分近似代替函数的增量

第三章导数的应用

利用导数可以研究函数的单调性、极值、凹凸性和拐点等。将这些理论与实际结合起来，就可以揭示事物的发展规律和特点，指导实践。微分中值定理是导数应用理论的基石，在实际应用上也有十分重要的作用。

●3.1中值定理：最有价值的定理

罗尔定理，拉格朗日中值定理 和柯西定理是微分学的重要定理，它们之间有着紧密的联系，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况，柯西定理是拉格朗日定理的参数方程形式，这三个定理，特别是拉格朗日定理被用在很多公式、法则、和定理的证明中，在微分学有这举足轻重的地位。

●3.2洛必达法则

有一类特殊类型的极限，分子和分母都是无穷小或者都是无穷大，我们称之为未定型极限。洛必达法则是求解这类极限的利器，但有时，它也无能为力。

●3.3函数的性态

新冠肺炎疫情期间，“拐点”这个词，被专家和媒体多次提到。什么是拐点？拐点的到来有何重要的实际意义呢。利用函数的导数，结合背景知识，可以深度挖掘和剖析变量隐含的规律，从而指导实践。

●3.4导数在医药领域的应用

20世纪60年代以来，高等数学在医药学中的应用日益广泛和深入。随着生物科学的数学化，医药学也逐步向数学化的方向发展，数学被来解决医药学在深入发展中所遇到的各种问题，以揭示其中数量的规律性。

第四章不定积分

积分学包括不定积分和定积分。不定积分是研究定积分的基础，本章主要介绍不定积分的简单性质和不定积分的计算。

●4.1不定积分的概念和性质

不定积分和求导数是一对逆运算，理解不定积分的含义和几何意义，掌握不定积分的简单性质是本节的重点。

●4.2不定积分的方法

换元积分法有两种，第一换元法（凑微分法），关键的步骤是凑微分，技巧性强，要求熟练掌握微分的公式；第二换元法的主要目的是化简被积函数，所以关键是换元，被积函数的结构不同，换元的方法也不同。分部积分法的关键步骤是被积表达式的转换，由被积函数的结构决定。

第五章定积分

公元前3世纪，古希腊的数学家阿基米德在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，使微积分成为数学的一个重要分支的是牛顿和莱布尼茨。

●5.1定积分的概念及性质

定积分的概念是从求平面曲边形的面积问题抽象出来的，而对平面曲边形面积的求解，经过了从整体到局部，再到整体，从特殊到一般，再到特殊，从有限到无限，再到有限的思维过程。定积分的概念非常重要，特别是它所蕴含的数学思想和数学方法，指导了定积分在各个领域的应用。

●5.2定积分的简单性质

了解定积分的简单性质，一方面有助于对定积分进行计算。另一方面，对于不可计算的定积分，可以大致确定它的范围。

●5.3定积分的计算

定积分的定义是一种计算定积分的最基本的方法，但是使用起来复杂繁琐。定积分的几何意义适用于某些比较特殊和简单的定积分求解。一般情况下，我们更多的使用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，牛顿-莱布尼兹公式也揭示了定积分与不定积分之间的关系。

●5.4定积分的应用

定积分在科学研究、工程技术等很多领域都有着广泛应用。其应用的基本原理是微元法，也是从定积分的定义中提炼出来的，是对定积分定义的另一种阐述。这一节主要介绍定积分在求平面图形的面积和旋转体体积上的应用。

●5.5广义积分

前面在介绍定积分的定义时，假设被积函数在闭区间[a,b]上连续，a,b是有限值。但在实际问题中，也会遇到积分区间是无限区间的情形，或者函数在积分区间上无界的情形。与定积分相比，无限区间上的积分和无界函数的积分就称为是不正常的、反常积分，或者称为是广义积分。这一节，我们将分别讨论连续函数在无限区间上的积分，和无界函数的积分。

●5.6定积分在医药学的应用

定积分在医药领域应用非常广泛，如在临床上可以确定心输出量、某段血管单位时间内的血流量、在药代动力学中可以计算某段时间内体内的平均血药浓度、血药浓度-时间曲线下的面积等等。