第一章空间解析几何与向量代数

在平面解析几何中，通过平面坐标系把平面上的点与二元有序数组联系起来，建立了平面上的曲线与二元方程的联系，实现了用代数的方法讨论几何问题。空间解析几何与平面解析几何类似，它把空间的点与三元数组联系起来，用代数的计算方法来讨论研究空间中点的轨迹问题，从而把数学的两个基本研究对象“数”和“形”完美统一起来。空间解析几何是学习多元函数微积分的基础。

●1.1向量及其线性运算

本节课介绍一个数形结合的重要工具——向量，主要内容有：向量的概念、向量的线性运算、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算以及向量的模、方向角、投影。

●1.2数量积 向量积

上一节课介绍了向量的加法、数乘，本课节结合实际的物理背景，介绍向量与向量之间的乘法：以作功问题为代表的两向量的数量积与以力矩为代表的两向量的向量积。

●1.3平面及其方程

本节课首先整体介绍图形与图形的方程，需要满足以下两个条件：图形上每一点的坐标都满足方程；不在图形上的点的坐标都不满足方程。平面中的曲线（点的轨迹）可以用二元方程表示，空间中的图形，比如平面、直线、曲面和曲线同样也是点的轨迹，也可以用方程刻画，反过来也可以用方程来研究讨论它对应的图形以及相关的问题。本节课介绍平面及其方程，可以将其与平面上的直线方程进行比较。

●1.4空间直线及其方程

本节课介绍空间直线及其方程。两相交平面的交线可确定一条直线，过一点且与已知向量平行可确定一条直线，空间不同两点也可以确定一条直线。本节课讨论在不同已知条件下如何刻画空间直线的方程。

●1.5曲面及其方程

在空间中，常常会遇到各种各样的曲面，此时需要分析这些曲面的方程。反之，在已知各种不同的方程情况下，需要研究它们表示的是什么样的曲面？本节课将介绍常见曲面方程的建立方法以及使用截痕法或伸缩变形法讨论一些特殊的方程所表示的曲面图形。

●1.6空间曲线及其方程

本节课讨论空间曲线的方程。两相交曲面的交线可确定一条曲线，也可以选择合适的参数，将曲线表示成参数方程。本节课中还介绍空间曲线在坐标面上的投影，这是学习重积分的基础。

第二章多元函数微分法及其应用

一元函数的微积分，讨论的是一元函数即一个变量变化而导致的变化问题。在实际生产生活过程中，基本上都是多个变量的情况，这就需要研究两个及两个以上的变量变化而导致的变化问题，即要讨论二元函数及多元函数的问题，而主要是研究它们的微分与积分问题。本章讨论多元函数微分法及其应用，多元函数与一元函数的概念、极限、连续性、导数以及微分等有很多相同点，但也有本质上的不同点。二元函数与二元以上的函数的情形非常类似，本章以讨论二元函数为主。

●2.1多元函数的基本概念

与一元函数类似，多元函数（以二元函数为代表）也有定义域、对应法则和值域，并且整个知识框架的相关概念也是类似的。本节课介绍平面点集、多元函数的概念、多元函数的极限以及多元函数的连续性。在学习多元函数的各种概念时，都要与一元函数的相关概念作对比。

●2.2偏导数

在研究一元函数时，从实际问题的变化率抽象出导数的概念。对于多元函数，同样需要讨论一些问题的变化率。还是以二元函数为代表，它有两个自变量，因此因变量与自变量的关系比一元函数要复杂。当先考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率，即当一个自变量发生变化时另一个自变量不变（看作常量）的情形下，函数对于该自变量的变化率，事实上，此时函数就是一元函数。

●2.3全微分

在实际问题中，经常需要研究多元函数的多个变量都取得增量时因变量所产生的增量变化规律，这就是本节课讨论的全微分问题。本节课的主要内容有：全微分的概念、全微分与连续的关系、全微分存在的必要条件及与偏导数的关系、全微分存在的充分条件以及全微分在近似计算中的应用。

●2.4多元复合函数的求导法则

实际问题中，经常会遇到多元复合函数的求偏导数问题。与一元复合函数求导的链式法则类似，多元函数也有复合函数求导的链式法则。只是多元复合函数的情形要比一元复合函数要复杂得多，但本质是相同的。根据复合的情况不同，分成三种情形来讨论：一元函数与多元函数复合的情形；多元函数与多元函数复合的情形；其他类型的复合函数。

●2.5隐函数的求导

与二元方程确定的一元隐函数问题类似，三元以及三元以上的方程也有关于隐函数的存在性定理。这类隐函数的求导问题的理论基础是多元复合函数求导的链式法则。

●2.6方向导数与梯度

第六节方向导数与梯度 作为多元函数，不止要讨论沿着坐标轴方向的变化率问题，很多实际应用问题还需要讨论沿着任意某个方向，函数的变化率问题，这就是本节课中讨论的方向导数。本节课还介绍了与某一点相关的非常重要的一个向量，它的方向是函数在该点处可以取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。这个向量称为梯度。

●2.7多元函数微分学的几何应用

多元函数微分学作有强有力的分析工具，有着非常广泛的应用，本节课主要介绍其几何应用,包括两个：空间曲线的切线及法平面；曲面的切平面与法线。

●2.8多元函数的极值及其求法

在实际问题中，经常会涉及多元函数的极值与最值问题。与一元函数类似，多元函数的最值与多元函数的极值密切相关。本节课分为两个部分：无条件极值和条件极值。

第三章重积分、曲线积分与曲面积分

利用“分割、近似、求和、求极限”的方法解决了曲边梯形的面积计算之后，数学上，把这一类问题抽象为定积分的概念，从而可以解决一般平面图形的面积、均匀薄片的质量，旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积等诸多实际问题。本章将对定义在平面或空间区域的多元函数，同样用“分割、近似、求和、求极限”的方法解决曲顶柱体的体积、空间物体的质量、曲线状或曲面状密度不均匀物件的质量，变力作功，流体流经曲面的流量等实际问题，抽象出多元函数的重积分、曲线积分与曲面积分等概念，并进一步讨论其性质、计算方法与实际应用。

●3.1二重积分的概念与性质

二重积分作为二元函数的积分，是定积分在二维情形下的推广。本节课的主要内容有：两个实际问题、二重积分的概念以及二重积分的性质。在学习这些内容时，要与定积分的相关内容作对比。

●3.2二重积分的计算

利用二重积分的定义或性质，只能计算极少数被积函数和积分区域都特别简单的情形。对于更一般的情形，需要用到本节课介绍的计算方法来计算，总的解决思路是将二重积分转化为两个定积分，即二次积分。根据被积函数与具体积分区域的综合情况，本节课分别介绍直角坐标和极坐标下的计算方法。

●3.3三重积分

从一元函数的定积分到二元函数的二重积分，很自然这个概念可以推广到更多元函数的更多重积分问题。本节课具体介绍三元函数的情形，虽然本质上是类似的，由于自变量个数的增加，三元函数的三重积分比二重积分要复杂些。本节课的主要内容有：三重积分的概念、三重积分的性质以及三重积分的计算。三重积分的计算主要介绍直角坐标情形和柱面坐标情形。

●3.4重积分的应用

元素法同样适用于重积分。利用重积分的元素法，可以解决许多几何、物理相关的问题。本节课主要介绍：曲面的面积、平面或立体图形的质心、转动惯量以及引力。

●3.5对弧长的曲线积分

定积分的积分范围为数轴上的一个闭区间，二重积分的积分范围为平面上的一个闭区域，三重积分的积分范围为空间内的一个闭区域。在空间中，积分范围还可推广到一段曲线弧的情形，包括平面曲线和空间曲线。曲线积分根据关注的内容不同，可分为两种类型，本节课介绍第一类曲线积分，也称对弧长的曲线积分。本节课的主要内容有：对弧长的曲线积分的概念与性质与对弧长的曲线积分的计算。

●3.6对坐标的曲线积分

本节课介绍第二类曲线积分。对弧长的曲线积分是不考虑曲线的方向的，最典型的例子就是曲线状物件的质量问题。但在有些实际问题中，常常需要考虑曲线的方向，比如一个变力沿曲线作用所做的功的问题。这就是本节课要介绍的第二类曲线积分，即对坐标的曲线积分。本节课的主要内容有：对坐标的曲线积分的概念与性质；对坐标的曲线积分的计算；两类曲线积分之间的关系。

●3.7格林公式及其应用

随着积分概念的推广，自然有一个问题，一元函数微积分基本公式（牛顿——莱布尼兹公式）是否也有相应的推广？答案是肯定的，本节课介绍牛顿——莱布尼兹公式在二维情形下的推广：格林公式，并介绍格林公式的重要应用。本节课的主要内容有：格林公式、平面上曲线积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分求积。

●3.8对面积的曲面积分

在空间中，积分范围除了考虑曲线的状态，还可推广到一片曲面的情形。曲面积分根据关注的内容不同，可分为两种类型，本节课介绍第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分。本节课的主要内容有：对面积的曲面积分的概念与性质以及对面积的曲面积分的计算。

●3.9对坐标的曲面积分

本节课介绍第二类曲面积分。对面积的曲面积分是不考虑方向的，最典型的例子就是曲面状物件的质量问题。但在有些实际问题中，常常需要考虑曲面的侧，即方向的问题，比如稳定流动的流体流经曲面某一侧的流量问题。这就是本节课要介绍的第二类曲面积分，即对坐标的曲面积分。本节课的主要内容有：对坐标的曲面积分的概念与性质；对坐标的曲面积分的计算；两类曲面积分之间的关系。

●3.10高斯公式和斯托克斯公式

格林公式刻画了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系。这样的关系可以往不同的情形继续推广。一是考虑空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类曲面积分之间的关系即本节课介绍的高斯公式；另一个是考虑空间曲面的第二类曲面积分与其边界曲线的第二类曲线积分之间的关系即本节课介绍的斯托克斯公式。

第四章无穷级数

无穷级数分为常数项级数与函数项级数两大类，其中常数项级数是函数项级数的基础。常数项级数是数的一种特殊的非常重要的表示形式，相应地，函数项级数是函数的一种重要表示形式，从而无穷级数是数值计算以及研究函数性质的重要工具，同时无穷级数也是微积分的重要组成部分，更是理论研究及实际应用中必要的工具。本章首先介绍常数项级数的有关内容，然后再介绍函数项级数，主要是幂级数与傅里叶级数。

●4.1常数项级数的概念与性质

本节课介绍常数项级数的概念以及收敛级数的性质。

●4.2无穷级数-正项级数的审敛法

直接利用常数项级数收敛的定义或性质只能讨论极少数简单级数的收敛问题。对于更一般的情形，在级数收敛定义的基础上，需要讨论更有效的判别方法。本节课介绍的是一类特殊的常数项级数——正项级数，本节课介绍的审敛法仅适用于正项级数。本节课的主要内容有：正项级数的概念以及正项级数的审敛法。

●4.3任意项级数的审敛法

本节课在正项级数审敛法的基础上，介绍任意项级数的审敛法。本节课主要内容有：交错级数及其审敛法以及绝对收敛与条件收敛。

●4.4幂级数

在常数项级收敛的情况下，如何计算其和是一个非常重要的问题。通常求和是不容易的，因此需要把常数项级数推广到函数项级数，利用强大的函数论的工具，常数项级数的求和问题可以得到部分解决。本节课介绍最重要的一类函数项级数——幂级数，主要内容有：函数项级数的概念、幂级数及其收敛域以及幂级数的运算性质。

●4.5函数展开成幂级数

介绍了幂级数的概念和性质后，有一个自然的逆问题是，一个函数在什么条件下可以表示成幂级数，如何具体计算？可以表示某函数的幂级数称为函数的幂级数展开式。在某区间内，这个幂级数就可代替函数，有了这个角度，利用强大的级数理论，给函数的研究打开了一条特别的通道，在理论研究和应用上都具有十分重要的意义。本节课的主要内容有：泰勒级数和麦克劳林级数与函数展开成幂级数的方法。

●4.6函数的幂级数展开式的应用

本节课介绍函数的幂级数展开式的应用，主要内容有：可以控制误差的函数值的近似计算、积分的计算以及欧拉公式。

●4.7傅里叶级数

除了幂级数，三角级数也是一类重要的函数项级数。在自然界和现代工程技术中，存在大量的随时间变化的周期现象，用数学语言描述就是关于时间的周期函数。三角函数是一类重要的周期函数，本节课介绍哪些周期函数可以表示成三角函数的和？这种无穷个三角函数的和称为傅里叶级数。