课程简介
本课程使用微积分和线性代数的方法，研究三维空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。在欣赏直观图形的同时，熟悉内蕴与外蕴几何的研究方法。
课程既探究诸如跨海大桥、广州电视塔等著名建筑的造型差异，又介绍爱因斯坦的广义相对论的数学基础——黎曼几何，为数学、物理学、天文学和几何应用奠定坚实的基础。
课程大纲
1. 预备知识
2. 曲线的局部理论
3. 曲面的第一基本形式
4. 曲面的第二基本形式
- 本章定位、结构与方法思想
- 4.1 第二基本形式
- 4.2 法曲率
- 4.3 Weingarten映射和主曲率
- 4.4 主方向和主曲率的计算
- 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开
- 4.6 某些特殊曲面
- 本章小结与测试
5. 曲面论基本定理
- 本章定位、结构与方法思想
- 5.1 自然标架的运动公式
- 5.2 曲面的唯一性定理
- 5.3 曲面论基本方程
- 5.4 曲面的存在性定理
- 5.5 Gauss定理
- 本章小结与测试
6. 测地线和测地曲率
- 本章定位、结构与方法思想
- 6.1 测地曲率和测地挠率
- 6.2 测地线
- *6.3 测地坐标系和法坐标系
- *6.4 常曲率曲面
- *6.5 Gauss-Bonnet公式
- 本章小结与测试
*7. 活动标架和外微分法
- 本章定位、结构与方法思想
- 7.1 外微分式和外微分
- 7.2 活动标架法及其应用
- 本章小结与思考