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第一章行列式
行列式是重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其它学科中也有广泛的应用。在初中代数中，借用二阶和三阶行列式给出了二元和三元线性方程组的求解公式。本章的目的就是推广这一理论，建立n阶（任意阶）行列式理论，在此基础上给出n元线性方程组的求解公式，并讨论一类n元齐次线性方程组有非零阶的充要条件。本章主要研究了以下问题：
1. n元排列的奇偶性；
2. n阶行列式的定义及其性质；
3. 行列式按行和列的展开；
4. 求解线性方程的克拉默法则。 -
●1.1 二阶行列式和三阶行列式
本节回顾了用二三阶行列式求解二元和三元线性方程组的过程，由此提出了本章的主题。
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●1.2n阶行列式的定义
本节先介绍了n元排列及其逆序数，由此给出了n阶行列式的定义。
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●1.3行列式的性质
本节介绍了行列式的四个基本性质，并展示了如何用这些性质计算行列式。
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●1.4行列式的展开定理
本节给出了行列式按行和列的展开定理，并展示了利用此定理计算行列式的基本原理。
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●1.5克拉默法则
本节给出并证明了克拉默法则，并由克拉默法则给出了一类特殊齐次线性方程组有非零解的充要条件。
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第二章空间解析几何
在平面解析几何中，我们通过建立平面直角坐标系将平面上的一个点与一个有序数对一一对应，将平面中的曲线与代数方程对应起来，从而可以用代数方法研究图形的性质和相互关系。
本章我们将这一理论推广到空间中，首先，建立空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程建立对应关系，给数和代数方程以直观几何意义；接着介绍向量的概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间的基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。
本章主要内容：
(1) 空间直角坐标系与空间向量的线性运算；
(2) 空间向量的数量积、向量积和混合积；
(3) 空间平面和直线的方程；
(4) 空间曲面与重要的二次曲面；
(5) 空间曲线及其方程. -
●2.1空间直角坐标系
本节介绍了空间直角坐标系的建立方式以及原点、坐标轴、坐标面和卦限的概念，并推导了空间直角坐标系中两点距离公式。
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●2.2空间向量及其坐标化
本节介绍了空间向量的概念，向量的坐标化，数乘向量，向量的加法和减法，向量的标准分解和向量的方向角和方向余弦的概念。
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●2.3向量的数量积和向量积
本节介绍了向量的数量积、向量积和混合积的概念及其性质。
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●2.4平面及其方程
本节介绍了描述空间平面的三种方程，空间中两个平面的位置关系，以及点到平面的距离公式。
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●2.5空间直线及其方程
本节介绍了描述空间直线的三种方程，空间直线之间以及平面与直线的位置关系，还介绍了平面束方程的概念。
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●2.6曲面及其方程
本节介绍了一下重要的空间曲面的概念，特别是二次曲面，它们将为多元微积分中二元函数和三元函数提供几何模型。
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●2.7 空间曲线及其方程
本节介绍了空间曲线的一般方程和参数方程，介绍了空间曲线在坐标面上的投影方法。
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第三章线性方程组
线性方程组在数学领域的各个分支，以及在自然科学、工程技术，生产实际中经常遇到。同时，线性方程组也是线性代数课程中最基本的内容之一，将贯穿于这门课程的始终。本章主要研究了以下几个问题：
1.线性方程组与矩阵的对应；
2.矩阵的秩与等价标准型；
3.线性方程组的可解性判别。 -
●3.1线性方程组求解
本节介绍了矩阵的概念, 线性方程组与矩阵的对应，介绍了矩阵的初等变换与矩阵等价，行阶梯阵、行最简阵的概念。
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●3.2矩阵的秩与等价标准型
本节介绍了矩阵的秩的概念、秩的基本性质，介绍了矩阵的等价标准型。
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●3.3线性方程可解性判别
本节利用线性方程组系数阵的秩与增广阵的秩的关系，给出线性方程组的可解性判别定理。
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第四章矩阵
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
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●4.1矩阵的运算
本节主要介绍矩阵的加、减、数乘、乘法和转置等运算，以及线性方程组的矩阵形式。
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●4.2逆阵
本节主要介绍方阵的伴随矩阵、方阵乘积的行列式和逆矩阵的求法，并给出了克莱默法则新的证明方法。
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●4.3初等矩阵
本节主要介绍初等矩阵及其与初等变换之间的关系，以及矩阵的等价标准型。
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●4.4分块矩阵的运算
本节主要介绍分块矩阵的概念、运算和分块初等变换及其应用。
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第五章向量组的线性相关性
在第二章中，用几何空间向量处理了直线、平面、角度、距离等一系列几何问题，也用它们来描述一系列物理现象，如力所作的功，刚体旋转运动中的线速度等。在许多实际问题中，只用几何空间向量是远远不够的。例如，研究人造卫星在太空运行时的状态，人们希望知道在某一时刻它所处的位置，其表面温度、压力等物理参数，要用n元数组，如六元数组(t,x,y,z,l,p)，才能表示卫星的状态。因此有必要引入由n元数组构成的n维向量。本章主要研究了以下问题：
1.向量的概念及其线性运算；
2.向量组的线性相关性；
3.向量组的秩和极大无关组；
4.线性方程组解的结构；
5.向量空间的结构。 -
●5.1向量及其线性运算
本节介绍了n维向量的概念及其线性运算，向量的线性组合及线性表示的概念，向量组的等价的概念。
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●5.2向量组的线性相关性
本节介绍了向量组线性相关和线性无关的概念，向量组线性相关性的判定定理及常用的结论。
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●5.3向量组的秩
本节介绍了向量组的秩和极大无关组的概念，向量组的秩和矩阵的秩的三秩相等定理，给出了向量组的秩和极大无关组的求法，揭示了向量组的结构。
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●5.4线性方程组解的结构
本节利用向量组的结构理论揭示了齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构。
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●5.5向量空间与线性变换
本节介绍了向量空间的概念，利用向量组的结构理论揭示了向量空间的结构。
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第六章方阵的对角化
由第五章内容可知，有限维向量空间 上的线性变换，在一个确定的基底下和 阶方阵建立了1-1对应关系，所以关系式 (其中 )称为向量空间 上的线性变换。进一步可知，同一个线性变换在不同的基底下对应着不同的表示矩阵，这些矩阵之间满足相似关系。我们希望对于 上一个线性变换 ，恰当的选择一个基底，使得此线性变换在此基底下的表示矩阵尽可能的简单，这等价于方阵 与一个简单矩阵相似。
本章主要研究对于给定的线性变换，或者对于给定的方阵 ，在什么条件下，如何选择一个基底，使得线性变换在此基底下的表示矩阵是一个对角阵，或者说方阵 在什么条件下可以与一个对角阵相似，分为以下两个内容：
1. 方阵的特征值与特征向量的定义与性质，
2. 方阵的相似对角化及其条件。 -
●6.1方阵的特征值与特征向量
本节介绍了方阵的特征值与特征向量的定义，求解方阵特征值与特征向量的一般步骤，特征值与特征向量的性质。
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●6.2方阵的相似对角化
本节介绍了两个矩阵相似以及方阵可对角化的定义，并给出了方阵可对角化的充要条件和充分条件。
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第七章实对称阵与二次型
本章借助实对称矩阵讨论一类特殊多元函数—二次型，是线性代数的一个实际应用。本章首先讨论实对称矩阵的性质，指出了实对称矩阵在合同变换下的不变量，再将实对称的理论转化为实二次型的理论。本章主要研究了以下几个问题：
1. 向量的内积
2. 实对称阵与二次型
3. 二次型的惯性定理
4. 正定二次型 -
●7.1向量的内积
本节介绍了n维向量的内积定义及其性质，介绍了正交向量组及向量的Schmidt正交化，介绍了正交矩阵定义及其性质。
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●7.2二次型与实对称阵
本节介绍了实对称矩阵与二次型的对应、实对称矩阵的性质，介绍了二次型的正交标准形。
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●7.3配方法化二次型为标准型
本节介绍了二次型的标准形，以及惯性定理，介绍了实对称矩阵的合同，并利用配方法化二次型为标准形。
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●7.4正定二次型
本节介绍了正定二次型的定义，及其利用相关充要条件判断二次线是否是正定二次型。
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第八章线性空间
在前几章中，主要讨论了n维向量空间和实数域上的矩阵，在本章中，我们将n维向量空间和矩阵的本质一般化，引入实数域上的线性空间的定义，并讨论他们的一些基本性质。 本章的主要内容：
（1） 线性空间的定义
（2） 线性空间的基本性质
（3） 线性空间的基、维数与坐标
（4） 线性子空间 -
●8.1线性空间的定义
本节介绍了线性运算的定义和线性空间的概念，并将向量组中线性相关的概念和性质推广到了线性空间中，还给出了几个常见的线性空间的例子。
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●8.2线性空间的基本性质
本节指出并证明了线性空间中零向量和负向量的唯一性，还证明了一些与零向量和负向量相关的一些基本性质。
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●8.3线性空间的基、维数与坐标
本节介绍了线性空间中基、维数和坐标的概念，介绍了线性空间中不同基之间的过渡矩阵，并介绍了线性空间中向量的坐标变换公式。
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●8.4线性子空间
本节主要介绍了线性子空间的概念和基本性质。