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第一章函数与极限
'极限’思想方法，是高等数学必不可少的一种重要方法。高等数学之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
本章让大家认识无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念, 两个重要极限, 函数连续的概念；间断点的概念及间断点的类型和名称。 -
●1.1无穷小概念及性质
介绍了无穷小的定义及性质、函数极限与无穷小的关系。
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●1.2无穷小比较
介绍了无穷小的比较，对等价无穷小做了深入的探索。
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●1.3两个重要极限1
介绍一个重要的0比0型的极限的应用。
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●1.4两个重要极限2
介绍了1的无穷次幂型极限的一个重要公式以及它的应用。
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●1.5函数的连续性
介绍函数在一点处连续的三种定义方式以及证明函数连续的方法。
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●1.6函数的间断点
介绍函数间断点的定义及其分类，让学生掌握函数的间断点的分类。
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第二章导数与微分
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
本章介绍导数定义、微分定义、连续与可导的关系、各种函数的求导方法。 -
●2.1导数定义
介绍了导数及左右导数的定义、导数的几何意义
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●2.2函数连续与可导的关系
介绍了函数可导与连续的关系,并给出了证明。
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●2.3复合函数求导法则
介绍了复合函数的求导法则及其应用。
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●2.4反函数求导法则
介绍了反函数的求导法则及其应用。
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●2.5隐函数的导数
介绍了隐函数的求导方法，并给出了几个例题
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●2.6微分的定义
介绍了微分的定义，并证明了可导与可微的等价性
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第三章微分中值定理与导数的应用
微分中值定理是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，建立了函数与导数之间的一座桥梁，应用十分广泛。
洛必达法则（l'H?pital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）所发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。洛必达法则最重要的应用是的是大大简化了极限运算。
本章带领大家认识微分中值定理、利用导数研究函数的性质及计算函数极限的重要方法——洛必达法则。 -
●3.1罗尔定理
介绍了罗尔定理及几何意义，并给出了定理证明
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●3.2拉格朗日中值定理
介绍了拉格朗日中值定理及几何意义，并给出定理证明及简单应用
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●3.3洛必达法则1
介绍了洛必达法则及其在0比0型未定式极限中的应用。
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●3.4洛必达法则2
介绍了洛必达法则及其在∞比∞型未定式极限中的应用。
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●3.5函数的单调性
介绍了函数单调性的判别法
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●3.6函数最值的应用实例
介绍了最值在实际问题中的应用及注意的问题
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第四章不定积分
不定积分是导数的逆运算，掌握不定积分的基本技巧对今后学习各种积分都起到致关重要的作用。
在函数连续的情况下，可以将定积分和不定积分联系起来——牛顿莱布尼兹公式。
本章介绍原函数与不定积分的定义及计算不定积分的三种基本方法。 -
●4.1原函数与不定积分的概念
本节介绍什么是原函数，原函数的存在条件，原函数的不唯一性，不同原函数之间的关系，不定积分的定义，不定积分与求导运算之间的关系。
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●4.2第一换元积分法
介绍计算不定积分的一种方法--第一换元积分法,并给出了典型例题。
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●4.3第二换元积分法
介绍计算不定积分的一种重要方法--第二换元积分法,并通过典型例题指出应用中应注意的问题.
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●4.4分部积分法
介绍了计算定积分的另一种重要方法--分部积分法并指出了应用中的规律性。
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第五章定积分
定积分也称为黎曼积分。定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以将定积分转化为计算不定积分。这个重要理论就是著名的牛顿-莱布尼兹公式。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
本章介绍定积分的概念及计算定积分的一个重要公式，最后将积分运算推广到无穷区间、无界函数上去。 -
●5.1定积分的概念
介绍了定积分的定义及几何意义
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●5.2牛顿莱布尼兹公式
介绍了可变限函数的定义及性质、牛顿莱布尼兹公式。
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●5.3反常积分
本节介绍定积分的推广形式----无穷积分的定义及计算。
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第六章定积分的应用
本章介绍微元法的思想及它的一个应用---已知截面面积函数求立体的体积公式。
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●6.1定积分的微元法
介绍了微元法的思想及已知截面面积函数求立体的体积公式。
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第七章微分方程
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的方向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。
本章介绍两类基本的微分方程的解法。 -
●7.1齐次方程
介绍求解一阶齐次方程的方法，并给出典型例题。
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●7.2常系数齐次线性微分方程
介绍解常系数线性齐次线性微分方程的通解的方法并给出典型例题。