-
绪章绪论
课程简介与学习建议、常微分方程思想方法、常微分方程发展简史。
-
●0.1ODE导论
课程简介与学习建议，常微分方程主要思想方法。
-
●0.2ODE概述
教学内容，常微分方程简史
-
第一章初等积分法
通过对一阶微分方程的几种类型的分析，让学生从根本上理解其特征。引导学生对一阶微分方程的初等解法进行思考和分析，总结一阶微分方程的初等解法。
-
●1.1微分方程和解
理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。理解积分曲线的概念。
-
●1.2变量可分离方程
变量分离方程解法。掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求解更广泛的方程。
-
●1.3齐次微分方程
化成变量可分离方程的变量变换思想。它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程。
-
●1.4一阶线微分性方程
常数变易法，贝努利方程解法。线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位。
-
●1.5全微分方程及积分因子
全微分方程解法；积分因子的凑微法。
-
●1.6一阶隐式微分方程
隐式方程的参数解法 。
-
●1.7可降阶的高阶方程的解法
可降阶方程的类型和求解方法。
-
●1.8Riccati方程
Riccati方程求解，研究历史及意义
-
第二章基本定理
解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
-
●2.1常微分方程的几何解释
常微分方程求解的几何意义是： 在线素场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于线素场中该点的方向。
-
●2.2解的存在唯一性定理
初值问题的解不一定是唯一的。 必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
-
●2.3解的延展
解的存在唯一性定理是在局部给出的。 在实际中， 尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的。
-
●2.4奇解与包络
解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。奇解与包络定义及奇解的求法。
-
●2.5解对初值的连续相依和可微性
初值微小变动时，解的变化情况。
-
第三章一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法。
-
●3.1一阶微分方程组
介绍方程组的基本概念和基本理论，的存在唯一性定理。
-
●3.2一阶线性方程组的一般概念
解的线性相关线性无关，基本解组朗斯基行列式。
-
●3.3一阶线性齐次方程组的一般理论
齐次线性微分方程组解的性质与结构；代数的方法求解基本解组和基本解矩阵。
-
●3.4一阶线性非齐次方程组的一般理论
非齐次线性微分方程组解的性质与结构；求解非齐次线性微分方程组的常数变易法。
-
●3.5常系数线性微分方程组的解法
求常系数线性微分方程组的特征根方法。
-
第四章线性微分方程
本章主要介绍高阶线性方程一般理论和求解方法。通过转化成等价的一阶方程组进行研究。
-
●4.1n阶线性微分方程的一般理论
齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法。
-
●4.2n阶常系数线性齐次方程解法
特征根的方法求解基本解组。n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
-
●4.3n 阶常系数非齐线性方程的比较系数法
常系数非齐线性方程的比较系数法
-
●4.4二阶常系数线性方程与振动现象
具体求解 描述弹簧振动的方程并且研究其解的物理意义.
-
●4.5拉普拉斯变换
拉氏变换是解带有t=0时初始条件的常系数线性微分方程（组）的有力工具，用拉氏变换解常系数线性微分方程
-
第五章定性和稳定性理论简介
对于不可求解的方程，要从方程自身去研究解的性质，介绍解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念，平面初等奇点的分类方法，了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。了解周期解和极限环的概念。
-
●5.1稳定性概念
介绍解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。
-
●5.2李雅谱若夫第二方法
解的稳定性的判别方法。
-
●5.3平面自治系统的基本概念
相平面相轨线及其性质
-
●5.4平面定性理论
平面初等奇点的分类方法及轨线分布。
