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第一章多项式
多项式理论在整个高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，它为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。本章对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述
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●1.1序章
绪论
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●1.2数域
通过数的概念的发展历史，引入数域的概念，推导出有理数域是最小的数域。
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●1.3一元多项式
作为中学多项式的提高和拓广，本节主要介绍了一元多项式的概念和运算：加法、减法、乘积，以及多项式次数由此产生的变化。
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●1.4整除的概念
本节从两个具体多项式除法的例子出发，引入带余除法定理，并进一步介绍其特殊情形：整除，以及整除的主要性质。
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●1.5最大公因式
通过类比最大公因数的性质与特点，本节给出最大公因式的定义，以及存在性的定理，并且利用具体例子来展现辗转相除法求最大公因式的步骤。特别当最大公因式为零次多项式时，这说明两个多项式是互素的，并由此探讨了互素与整除之间的关系。
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●1.6因式分解定理
对中学多项式分解理论的进一步深入，本节提出不可约多项式的概念与性质，并主要从理论层次上刻画了因式分解及惟一性定理。
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●1.7重因式
从具体因式的例子中提出重因式的概念，以及重因式的性质。由于没有一般方法求一个多项式的标准分解式，为此本节主要探讨辗转相除法求重因式的步骤。
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●1.8多项式函数
首先将一元多项式从形式表达式的角度转化为函数的观点，进而提出多项式函数以及根的概念。利用根与一次因式的关系，提出重根与重因式的关系，以及判别重根与计算重根重数的方法。
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●1.9复系数与实系数多项式的因式分解
本节首先介绍了代数学基本定理，由根与一次因式的关系探讨出复数域上不可约多项式的特点，进而刻画复系数多项式的因式分解定理。从一元二次实系数多项式根的特点，推广出一般实系数多项式根的特征，进而刻画出实数域上不可约多项式以及实系数多项式的因式分解定理。
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●1.10有理系数多项式
本节首先引入本原多项式的概念与性质，进而将有理系数多项式的因式分解归结为整系数多项式的因式分解问题，并由此给出一个求整系数多项式的全部有理根的方法。
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第二章行列式
行列式最早是由解线性方程组引入的，时至今日它已成为一种重要的数学工具，在数学、物理以及工程技术等领域都有广泛的应用。本章着重介绍了n阶行列式的定义；n阶行列式的性质与计算； 行列式的应用：利用克拉默法则求解n元线性方程组。
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●2.1引言
从消元法求解二元一次线性方程组发现，线性方程组的解完全由未知量的系数与常数项确定，进而引入二阶行列式的定义与对角线法则，并且也能运用行列式来求解二元一次线性方程组。由此进一步推广，刻画出三阶行列式与三元一次线性方程组的解之间的关系，进而提出问题：对于n元线性方程组，它的解是否也可以用n阶行列式来表示？如果可以，如何来定义和计算n阶行列式？
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●2.2排列
从三级行列式定义的特点来探讨排列的性质，给出一个排列中逆序数的定义与求法，进而提出奇偶排列的定义。利用对换改变排列的奇偶性，探讨出任意一个n级排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
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●2.3n阶行列式
从三级行列式定义的特点出发，给出n级行列式的定义，并对特殊的行列式如对角行列式、三角行列式等，利用定义法来进行计算给出公式。由于数的乘法运算是满足交换律的，因此n级行列式的定义也可以给出一般的形式。
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●2.4n级行列式的计算
对于高阶行列式利用定义法计算过于繁琐，因此本节主要探讨行列式的性质，并通过具体的例题来展现如何利用行列式的性质化成上三角行列式，从而求出行列式的值。
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●2.5行列式按一行（列）展开
一般情况下，低阶行列式比高阶行列式容易计算，这样如何降低行列式的阶级数，从而把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。本节先引入余子式与代数余子式的概念，然后再类比三级行列式的定义，给出行列式按一行（列）展开法则。为此，需要将行列式化为一行（列）只有一个非零元素再利用行列式按行（列）来展开。
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●2.6克拉默法则
本节是应用行列式解决线性方程组的问题。在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形。对于n元线性方程组，在满足一定条件下也会得到与二元三元线性方程组相仿的公式。克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的显式关系，这对一般类型的线性方程组的理论研究起着十分重要的作用。
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●2.7排列及其逆序数的应用
排列及其逆序数的应用
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第三章线性方程组
线性方程组的理论在数学各分支及其它许多领域被广泛应用着。本章是用克拉默法则求线性方程组的一般情况和延申，主要探讨下面三个问题：(1) 一般的线性方程组究竟有没有解？有解的条件是什么？(2) 假若有解，究竟有多少个解？怎样求出解来？(3) 假如有无穷多解时，这些解之间有何关系？本章的主要内容有：线性方程组的矩阵消元法；n维向量空间；线性相关性；矩阵的秩；线性方程组有解的判别定理；线性方程组解的结构。
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●3.1矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
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●3.2消元法
消元法
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●3.3n维向量空间
本节从平面向量定义与运算出发，推广并提出n维向量的定义、加法与数量乘法运算的性质，进一步考虑数域P上所有n维向量组成的全体，同时考虑到定义在上面的加法与数量乘法，这一结构称为数域P上的n维向量空间。
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●3.4线性相关性
线性相关性
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●3.5矩阵的秩
矩阵的秩
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●3.6线性方程组有解的判定定理
线性方程组有解的判定定理
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●3.7线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
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●3.8线性方程组的应用
线性方程组的应用
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第四章矩阵
矩阵在线性代数中是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿于研究线性代数的各个方面。矩阵理论不仅是数学的一个重要分支，而且它在自然科学、社会科学、工程技术以及生成实践的大量问题中得到广泛应用。本章主要介绍矩阵的概念与运算、逆矩阵、矩阵的分块、初等矩阵、分块矩阵的初等变换及其应用。
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●4.1引言
本节从现实、几何等具体例子中展现用矩阵表示的简洁性，进一步描述一些特殊的矩阵。
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●4.2矩阵的运算
矩阵的运算
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●4.3矩阵的逆
矩阵的逆
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●4.4矩阵的分块
矩阵的分块
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●4.5初等矩阵
初等矩阵
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●4.6分块矩阵的初等变换及应用举例
普通矩阵可视为分块矩阵的特殊情形，因此用类比法给出分块矩阵的初等变换与初等矩阵，并且讨论了分块矩阵的初等变换在求逆矩阵与行列式计算中的应用。
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●4.7矩阵与数字图像
矩阵与数字图像
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第五章二次型
二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题。现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其它分支及物理、力学、工程技术中也常常用到。本章的主要内容有：二次型的矩阵表示；标准形；唯一性；正定二次型。
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●5.1二次型及其矩阵表示
二次型及其矩阵表示
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●5.2非退化线性替换与矩阵合同
非退化线性替换与矩阵合同
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●5.3二次型的标准形
本节主要介绍了利用配方法化二次型为标准形，其关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：一是有平方项，二是无平方项。
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●5.4复数域上二次型的规范形
由于在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。本节主要探讨了复数域上任意一个二次型可以经过适当的非退化线性替换化为规范形，并且规范形是唯一的。此外，还刻画出复对称矩阵合同的性质。
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●5.5正定二次型
在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位。本节主要介绍了正定二次型的定义及常用的判别条件，主要是利用标准形或顺序主子式的特征来刻画。
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●5.6二次型的应用
二次型的应用
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第六章线性空间
线性空间是2维、3维几何空间及n维向量空间的推广。线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定了加法与数乘的集合的公共性质。这是第一次用公理化的方法来定义一个数学结构，因此在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。由此可见，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性。本章主要介绍线性空间的定义、基、维数与坐标、基变换与坐标变换公式、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构。
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●6.1线性空间的定义与性质
本节从解析几何中的例子及矩阵考察，抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，由此引入线性空间的概念，并探讨线性空间的一些简单性质。
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●6.2维数·基与坐标
维数·基与坐标
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●6.3基变换与坐标变换
由于线性空间的基向量不是唯一的，为此本节探讨了两组基之间的过渡矩阵，并且随着基的改变，向量的坐标也随着变化。
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●6.4线性子空间
线性子空间
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●6.5子空间的交与和
本节探讨了两个子空间的交与和的定义与性质，并由此得到两个线性子空间：交空间与和空间，特别针对生成子空间，介绍了其和空间的特征。
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●6.6子空间的直和
当两个子空间的交空间为零空间时，子空间的和即为直和，即直和是和的一种特殊情形。本节主要探讨了两个子空间的直和定义以及判别的充要条件。
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●6.7线性空间的同构
本节首先给出同构映射的定义，要求是双射并保持加法与数乘运算，然后刻画了同构映射的相关性质，以及两个有限维线性空间同构的充要条件。
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第七章线性变换
由解析几何已知，恰当选取坐标系，对于研究几何图形学的性质和简化计算都有重要的作用。同样，对于n维空间几何学来讲，为了便于问题的处理和解决，基底的适当变换也是重要的。线性空间自身到自身的映射称为一个变换，线性变换是最基本的一种变换，是线性代数的一个主要研究对象。线性变换反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广。本章主要介绍线性变换的定义与性质、线性变换的运算、线性变换的矩阵、特征值与特征向量、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间。
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●7.1线性变换的定义与性质
线性变换是特殊的变换，它不仅要求是线性空间自身到自身的映射，还要求该变换保持对加法与数乘运算的线性性质。本节主要介绍了线性变换的定义与一些简单性质。
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●7.2线性变换的运算
本节主要介绍线性变换的加法、数乘、乘法运算，并且同一线性空间上的所有线性变换在线性变换的加法与数乘运算下，可以构成一个线性空间。
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●7.3线性变换的矩阵
本节首先探讨线性变换与基的关系，然后刻画出线性变换在一组基下对应的矩阵，建立线性变换与矩阵之间的一一对应关系，最后构造出由线性变换组成的线性空间到矩阵组成的线性空间的同构映射。
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●7.4特征值与特征向量
本节从具体的例子出发，引入特征值与特征向量的定义与性质，随后通过理论上的分析，给出计算特征值与特征向量的方法，并举例说明。
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●7.5对角矩阵
对于给定的线性变换，本节找到适当的一组基，使得线性变换在这组基下对应的矩阵是对角矩阵。
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●7.6线性变换的值域与核
本节从线性变换的值域与核构造出线性子空间，并探讨出值域与核的构造，发现线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变。
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●7.7不变子空间
根据线性变换下像的特点，本节引出了不变子空间的定义。同时，利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵化简与线性变换的内在联系。
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●7.8相似对角化的应用
相似对角化的应用
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第八章欧几里得空间
在线性空间中，元素之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的一种推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。因此，本章在线性空间中引入内积的概念，使其更接近于几何空间，并由更丰富的内容与方法。本章主要介绍欧氏空间定义与性质、标准正交基、正交变换、对称变换、正交变换将二次型化为标准形。
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●8.1欧氏空间定义与基本性质
欧氏空间是实数域上带有一个内积的线性空间，是通常几何空间的推广。本节主要介绍了欧氏的定义与内积的性质。
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●8.2标准正交基
由于内积刻画的正交性，本节主要介绍欧氏空间上的一组特殊基：标准正交基，探讨标准正交基的定义以及相关性质。欧氏空间是实数域上带有一个内积的线性空间，是通常几何空间的推广。本节主要介绍了欧氏的定义与内积的性质。
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●8.3正交变换
在解析几何中，正交变换是保持点之间得距离不变得变换。为此，本节给出欧氏空间中正交变换的概念，并且给出判别正交变换的充要条件。
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●8.4对称变换
本节从具体的例子中引出一般欧氏空间中对称变换的定义，并证明对称变换在标准正交基下与对称矩阵是一一对应的。
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●8.5最小二乘法的应用
最小二乘法的应用