第一章函数——微积分的研究对象

函数是微积分的研究对象，也是学习微积分的基础。本章将在初等数学函数知识的基础上，对一元函数的概念、性质、运算等进行更具体、更深入地研究。

●1.1集合

一元函数建立了两个变量之间的对应关系，而变量所在的范围就是集合，因此，本小节通过回顾集合的概念，给出常用的几个数集及其符号表示，并进一步强调了一类特殊集合——区间。在此基础上，为了更方便地刻画局部范围，引入了邻域和空心邻域两个新的概念。

●1.2函数

数学上对任何对象的学习都基于也归结于其定义，因此，本节从函数的严格定义出发，在三个方面展开学习。首先对函数的核心要素进行深入分析，在此基础上，继续挖掘函数的基本性质，以常用函数为例，回顾函数的单调性、奇偶性、对称性，并给出函数新的性质——有界性；其次，通过直观分析，研究反函数存在的充分条件及反函数的特性；最后，在中学对基本初等函数的学习基础上，继续补充几种新的基本初等函数，并结合函数的四则运算和复合运算，给出初等函数的概念。

第二章极限——微积分的研究基础

极限是微积分得以建立的基础，是研究变量的变化趋势的基本工具，极限的思想贯穿于微积分的整个学习过程中。本章主要学习极限的概念、极限的性质和极限的几种系统的计算方法。作为极限的简单应用，本章最后介绍连续函数，它也是微积分研究的最主要的函数。

●2.1数列极限

数列极限是相对更简单更基础的一类极限，因此本节首先通过引经据典，初步展现极限思想，给出数列极限的描述性定义，然后通过实例分析，进一步用定量的方式刻画数列极限的严格定义。

●2.2函数极限

函数相较于数列，因其定义域表现为连续的数集，以及不同函数的定义域所呈现的不同形式（有限集或无限集），导致函数极限比数列极限要复杂的多，因此，本节就函数自变量趋于无穷远和趋于有限值两种变化过程下，给出函数极限的定义，特别注意自变量在变化过程中的双向性和单侧变化所存在的区别与联系。从描述性定义的初步陈述，到严格定义的深入理解，再到几何上的直观呈现三个方面全面详细地讲解函数极限。并在此基础上，给出极限的几个重要性质。

●2.3无穷大量与无穷小量

无穷大量与无穷小量是两类极限特殊的函数，本节主要学习它们的定义、两者之间的关系以及与之相关的运算法则和性质，它们在求极限的过程中有重要的作用，特别是无穷小量，因其与函数极限的密切关系，使得它在极限部分乃至整个微积分的创建过程中都起着至关重要的作用。

●2.4极限的四则运算法则

微积分所研究的函数大部分都属于初等函数，而每个初等函数（除基本初等函数）中都包含了两个或多个基本初等函数的和、差、积、商及其混合运算，因此，为了获得初等函数的极限，本节学习极限的四则运算法则，并以实例分析的形式，总结归纳几类常用函数和典型函数的极限求解思路。

●2.5两个重要极限

本节首先通过直观呈现给出两个重要的极限存在定理——夹逼准则和单调有界收敛定理，然后得到两个非常重要的极限，它们对于计算函数的极限以及后面的微积分公式都起了很关键的作用。在分析两个重要极限的特殊形式的基础上，通过实例分析，给出了这两个重要极限的不同变形及其应用。

●2.6无穷小的比较

两个无穷小量之间的加、减、乘仍是无穷小量，但由于其“小的速度”不同而导致了两个无穷小量之间的除法不一定能继续保持无穷小，因此，本节根据两个无穷小量商的极限情况定义无穷小量的“阶”，由此来刻画两个无穷小量趋于零的速度快慢。并针对一类重要的无穷小量——等价无穷小，给出等价无穷小代换原理。该原理提供了一种求极限的新方法，在满足条件的前提下，只要选取适当的无穷小量替换，便可以简单快捷地进行计算。

●2.7连续函数

在实际应用中，很多变量之间的变化都是连续的。这种连续变化的数学抽象就是函数的连续性，这也是继极限后，微积分中的第二个重要概念。本节首先以极限为基础，给出函数在一点处连续的两种不同定义，特别是第二定义，将极限与连续紧密结合起来。其次，在左右极限的基础上，定义了函数在一点处的左右连续性，为判断分段函数在分段点处的连续性提供了方法。同时，也为区分函数间断点的类型提供了依据，给出了第一类间断点和第二类间断点的定义。再次，在局部连续的基础上，给出了函数的整体连续性，并详细分析了初等函数的连续性，提供了求极限的新方法——代入法。最后，对闭区间上连续函数所特有的性质进行刻画和分析，为连续函数的应用提供了理论依据。

第三章一元函数微分学

一元函数微分学是一元微积分理论的第一大部分内容，包括函数的导数、微分、微分中值定理以及在此基础上的导数的应用，它是微积分的重要组成部分，也是下一章一元函数积分学的重要学习前提和基础。本章将在极限理论的基础上，系统地介绍导数与微分的概念、计算方法、微分中值定理以及利用导数来研究函数的基本性态。

●3.1导数的概念与性质

本节仍以极限思想为基础，从曲线的割线到切线，从直线运动的平均变化率到瞬时变化率，从形式到本质，给出函数在一点处可导的定义、几何意义和物理意义，并由左右极限定义了函数在一点处的左右可导性，为判断分段函数在分段点处的可导性提供了方法。另外，从定义出发，本节还详细分析了函数的两大重要性质——连续和可导之间的关系。

●3.2导数的运算

利用导数定义计算函数的导数有很大的局限性，不仅麻烦而且有很大难度，因此，本节将介绍计算导数的几种系统方法，包括四则运算、复合运算，并引入一类新的函数——隐函数，及其求导法则。通过本节的学习，不仅可以从理论上获得所有基本初等函数的导数公式，而且以此为基础，结合运算法则，可以较快地求出所有初等函数的导数。另外，通过对一个函数多次求导，定义了函数的高阶导数。

●3.3函数的微分

在许多实际问题中，经常遇到当自变量发生微小改变时，相应的函数改变量如何计算的问题，这里体现的就是微积分的重要思想——“微元”思想，将它抽象成数学概念就是函数的微分。因此，本节将学习微分的概念、几何意义，以及由定义出发建立的微分与导数的关系。通过对微分定义的学习及其几何直观的呈现，我们应理解微分中的核心思想——近似，并在此基础上学习微分在近似计算中的应用。

●3.4微分中值定理

函数的局部性质和整体性质相互依赖，互相决定，微分中值定理则很好地建立了函数在某个区间上的整体性质与在某点处的局部性质之间的关系，因此，本节学习微分中值定理中的两个重要定理——罗尔定理和拉格朗日中值定理，它们是微分中值定理的基础，也是导数应用的理论依据。

●3.5洛必达法则

通过对无穷小量的学习我们知道，两个无穷小量做除法后极限不唯一，同理可知，两个无穷大量做除法也有相同问题。因此，本节主要针对这两种形式的极限，给出一种快捷方便的求解方法——洛必达法则。在此基础上，对其他几类特殊形式的极限进行分析，例如无穷小量与无穷大量相乘、两个无穷大量相减等，其极限也都是不确定的， 通过将其转化为两个无穷小量或两个无穷大量相除的形式后，利用洛必达法则求解。

●3.6导数的几何应用

求函数的最值问题是导致微分学产生的问题之一，因此，在微分中值定理的基础上，本节将学习如何利用导数来研究函数的基本性态，包括函数的单调性、极值和最值、曲线的凹凸性等问题，本节内容有对中学所学内容的复习，更有细节的补充和深入。

第四章一元函数积分学

一元函数积分学是一元微积分理论的第二大部分内容，包括不定积分和定积分。事实上，在导致微积分建立的经典问题中，对曲边图形的面积和不规则空间立体体积的计算一直是数学家们关心的课题，这也是定积分的主要应用。因此，本章学习不定积分和定积分的概念、性质以及它们的基本计算方法。并在此基础上揭示微分与积分的关系。

●4.1不定积分的概念和性质

通过上一章的学习，我们已经知道如何对一个给定的函数求导，那么反过来，如果已知一个函数的导数，如何求这个函数本身呢？这涉及的就是求导的逆过程，本节将要学习的不定积分可以回答这个问题。

●4.2不定积分的计算

利用不定积分的定义直接积分只能求比较简单的不定积分，对于稍复杂的不定积分无能为力。因此，本节将通过实例分析的方法给出三种求不定积分的系统方法——第一类换元法、第二类换元法、分部积分法。在每种方法中，将通过具体例子来说明该方法的使用条件、适用范围、规律及需要注意的问题，并分类归纳每种方法所适用的典型积分形式，为选取何种方法进行计算提供经验和依据。

●4.3定积分的概念和性质

与不定积分相同，定积分也是根据实际问题——计算曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等的需要而引入，因此，本节将从定积分的应用背景出发，学习定积分的基本思想、概念、由实际问题所呈现的几何意义和物理意义，以及定积分的基本性质。

●4.4定积分的计算

不定积分和定积分作为积分学的两大内容，它们之间存在着密切的联系，微积分基本公式则非常完美地呈现了二者之间的关系，也提供了求不定积分的经典方法。因此，本节首先介绍微积分基本公式的获得和应用。其次，根据不定积分与定积分的关系，将不定积分的换元法和分部积分法过渡到定积分的计算中。

●4.5定积分的几何应用

定积分是由于实际问题的需要而引入的，它源自几何上曲边梯形的面积和物理上变速直线运动的路程等问题，本节通过对定积分思想的本质分析，将所有通过分割、近似、求和、取极限这四步来解决的问题都归结为定积分的应用问题。以此为基础，引入微元法，并通过平面图形面积的求解和空间立体体积的求解来揭示定积分中的微元思想，通过应用深入理解定积分。