课程简介
线性代数是现代数学的基础之一，在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用，同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。本课程做为清华大学非数学理工科各专业学生重要的必修课程，介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论，强调线性代数的理论与应用的结合。作为线性代数(1)的后继课程，线性代数（2）继续结合应用介绍正定矩阵、相似矩阵（若当标准形）、奇异值分解、线性变换、广义逆、复矩阵以及线性代数在工程、几何、经济问题中的应用等。通过本课程的学习，培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备线性代数的基本理论知识，熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法，为后继的学习和提高奠定数学基础。
课程大纲
第一讲：正定矩阵
1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
1.2 典型例题
1.3 半正定矩阵及其判别条件
1.4 二次型
1.5* 有心二次曲线(central conic)
1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
1.7 二次型的分类
1.8 矩阵的合同
1.9* 惯性定理的证明
1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
第二讲：相似矩阵
2.1 引言
2.2 相似矩阵的性质
2.3 Jordan标准形
2.4 定理的证明
2.5 Jordan标准形的应用
第三讲：奇异值分解
3.1 引言
3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
3.3 例题
3.4 奇异值分解的应用
第四讲：线性变换 I
4.1 线性变换的定义和性质
4.2 线性变换的运算
4.3 线性变换的矩阵表示
4.4 线性变换与矩阵之间的关系
第五讲：线性变换 II
5.1 恒同变换与基变换
5.2 图像压缩——基变换的应用
5.3 线性变换在不同基下的矩阵
5.4 矩阵分解与基变换
5.5 线性变换的核与像
5.6 不变子空间
5.7* 幂零变换
5.8* Jordan标准形
第六讲：伪逆
6.1 伪逆
6.2 Moore – Penrose 伪逆
6.3 最小二乘法
第七讲：工程中的矩阵
7.1 简介
7.2 弹簧模型
7.3 变量的线性关系
7.4 刚度矩阵
7.5 从离散到连续
第八讲：图与网络
8.1 简介
8.2 图和矩阵
8.3 网络和加权Laplacian矩阵
8.4 关联矩阵的四个基本子空间
8.5 注记
第九讲：Markov矩阵和正矩阵
9.1 问题引入
9.2 Markov矩阵
9.3 正Markov矩阵
9.4 正矩阵
第十讲：Fourier级数
10.1 引言
10.2 内积空间
10.3 傅里叶级数
10.4 投影
10.5 关于Fourier变换的注记
第十一讲：计算机图像
11.1 引言
11.2 平移
11.3 伸缩
11.4 旋转
11.5 投影和反射
第十二讲：复数与复矩阵
12.1 引言
12.2 复矩阵
12.3 复正规阵
12.4 离散Fourier变换
12.5 快速Fourier变换
结课寄语
结课寄语
期末考试
1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
1.2 典型例题
1.3 半正定矩阵及其判别条件
1.4 二次型
1.5* 有心二次曲线(central conic)
1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
1.7 二次型的分类
1.8 矩阵的合同
1.9* 惯性定理的证明
1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
第二讲：相似矩阵
2.1 引言
2.2 相似矩阵的性质
2.3 Jordan标准形
2.4 定理的证明
2.5 Jordan标准形的应用
第三讲：奇异值分解
3.1 引言
3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
3.3 例题
3.4 奇异值分解的应用
第四讲：线性变换 I
4.1 线性变换的定义和性质
4.2 线性变换的运算
4.3 线性变换的矩阵表示
4.4 线性变换与矩阵之间的关系
第五讲：线性变换 II
5.1 恒同变换与基变换
5.2 图像压缩——基变换的应用
5.3 线性变换在不同基下的矩阵
5.4 矩阵分解与基变换
5.5 线性变换的核与像
5.6 不变子空间
5.7* 幂零变换
5.8* Jordan标准形
第六讲：伪逆
6.1 伪逆
6.2 Moore – Penrose 伪逆
6.3 最小二乘法
第七讲：工程中的矩阵
7.1 简介
7.2 弹簧模型
7.3 变量的线性关系
7.4 刚度矩阵
7.5 从离散到连续
第八讲：图与网络
8.1 简介
8.2 图和矩阵
8.3 网络和加权Laplacian矩阵
8.4 关联矩阵的四个基本子空间
8.5 注记
第九讲：Markov矩阵和正矩阵
9.1 问题引入
9.2 Markov矩阵
9.3 正Markov矩阵
9.4 正矩阵
第十讲：Fourier级数
10.1 引言
10.2 内积空间
10.3 傅里叶级数
10.4 投影
10.5 关于Fourier变换的注记
第十一讲：计算机图像
11.1 引言
11.2 平移
11.3 伸缩
11.4 旋转
11.5 投影和反射
第十二讲：复数与复矩阵
12.1 引言
12.2 复矩阵
12.3 复正规阵
12.4 离散Fourier变换
12.5 快速Fourier变换
结课寄语
结课寄语
期末考试