课程简介
这门课会讲什么？
常微分方程是古老的数学分支，广泛应用于物理、医疗、航天航空、交通、经济、生活等自然科学和社会科学各个领域。本课程通过引入实际案例，将理论与实践结合，让学生体会数学之美、数学之魅力、数学之无处不在，学会用数学眼光看待社会和自然现象。本课程采用“五步”教学模式结合“三方法”“三思想”详细介绍一阶微分方程、高阶微分方程及一阶微分方程组相关理论和方法，教学内容由浅入深，层层递进。基于“以学生成长为中心”的教学理念，将内容分为四个层面：以“五步”--引模型、析模型、解问题、评思维和善运用教学模式结合案例法、任务驱动法，介绍各类微分方程（组）的特点、解法与应用；以对比教学法介绍高阶微分方程和一阶微分方程组的基本理论；以思维导图形式介绍一阶微分方程解存在唯一性定理的内容及证明；利用数学软件Mathematica展示微分方程近似解方法及有效性。同时，将常微分方程中“三思想”--数学建模的思想、常数变易的思想、变量替换的思想贯穿课程始终，让学生了解思想的来源、抓住思想的本质，引导学生数学思维向深度和广度的发展。
你将收获什么？
通过学习本课程，学生会认识各类微分方程（组）的特点和求解方法，借助数学建模思想初步了解常微分方程在物理、医疗、交通、航天航空、生活等方面的应用，解决简单的实际问题，体会数学的应用之广。同时，通过本课程学习，学生会理解数学建模、变量替换和常数变易法“三思想”来源、实质和精髓，领悟“三思想”在其他课程及中学数学中的应用。
适合什么人学习？
本课程适合高校的理工科学生及具有高等数学和线性代数理论基础的其他爱好者。
课程大纲
课程章节
- 绪论
- 一阶微分方程的初等解法
- 一阶微分方程的解的存在定理
- 高阶微分方程
- 线性微分方程组
- 阶段测试2
- 新建课程目录
绪论
1.1 课程简介
1.2 常微分方程简介
1.3 常微分方程典型应用
1.4 基本概念
一阶微分方程的初等解法
2.1 变量分离方程
2.2 齐次方程
2.3 一阶线性微分方程
2.4 伯努利方程
2.5 恰当微分方程的判定
2.6 恰当微分方程的解法
2.7 积分因子
2.8 一阶隐式微分方程--类型I,II
2.9 一阶隐式微分方程--类型III,IV
一阶微分方程的解的存在定理
3.1 一阶微分方程的近似解--皮卡逐步逼近法
3.2 解存在唯一性定理引例
3.3 解的存在唯一性定理内容
3.4 解的存在唯一性定理的证明I
3.5 解的存在唯一性定理的证明II
3.6 解的延拓
高阶微分方程
4.1 函数组的线性相关性
4.2 高阶微分方程的通解结构
4.3 二阶微分方程常数变易法
4.4 高阶微分方程常数变易法
4.5 复值函数
4.6 齐次线性微分方程的求解方法---特征根为单根
4.7 齐次线性微分方程的求解方法---特征根为重根
4.8 欧拉方程
4.9 二阶常系数非齐次线性微分方程——类型I
4.10 高阶常系数非齐次线性微分方程——类型I
4.11 高阶常系数非齐次线性微分方程——类型II
4.12 高阶常系数非齐次线性微分方程——复数法
4.13 降阶法
4.14 幂级数解法
线性微分方程组
5.1 一阶微分方程组的基本概念
5.2 高阶微分方程与一阶微分方程组等价
5.3 一阶线性微分方程组的近似解
5.4 向量函数组的线性相关性
5.5 齐次线性微分方程组的通解结构
5.6 非齐次线性微分方程组的通解结构
5.7 矩阵指数函数性质与应用
5.8 特征值法求解常系数线性微分方程组—特征值是单实根
5.9 特征值法求解常系数线性微分方程组—特征值是单复根
5.10 特征值特求解常系数线性微分方程组—特征值是2重根
5.11 特征值特求解常系数线性微分方程组—特征值是3重根
5.12 消元法求解常系数线性微分方程组
5.13 微分算子法求解常系数线性微分方程组
5.14 利用特征子空间直和分解求解常系数线性微分方程组
5.15 利用哈密尔顿-凯莱定理求解常系数线性微分方程组
5.16 化若当标准形求解常系数线性微分方程组
阶段测试2
6.1 阶段测试2
新建课程目录
