基础复分析
| 作 者 | 崔贵珍 高延 编著 |
|---|---|
| 单 位 | 深圳大学 |
| 内容提要 | 本书是为高校数学类专业基础复分析课程编写的教材。全书共十一章，内容包括复数、点集拓扑基础、复函数、初等函数的几何性质、复积分、留数计算、调和函数、级数与乘积展开、共形映射与Dirichlet问题、解析延拓、椭圆函数。本书在选材上注重几何直观，在内容上力求全面。各章配有适量习题。
本书也可作为高校数学相关专业的教材或教学参考书。 |
本教材参考了Ahlfors(阿尔福斯)的Complex Analysis，对部分内容进行了调整。首先我们仍然强调对概念的理解，补充了一些内容以阐明与其他相关内容的联系，增强学生对数学的整体认识。而在计算，特别是定积分计算方面则费时较少。其次我们更加强调几何直观，增加了一些共形映射的内容。同时在拓扑基础方面有所加强，以培养学生的逻辑推理能力。基于这些调整我们编写了本书。考虑到复分析还有其他后续内容，取名《基础复分析》。
课程教学是一个过程，应兼顾学生的认知规律和知识点的逻辑结构。本教材的内容力求全面。学生在初学时可以着重基本内容，经过反复练习再不断提高教师在授课时可以根据学生的具体情况适当调整。以下是一些调整建议，供授课教师参考:
(1)2.3节可以不讲，只讲度量空间。这并不影响后面内容的讲授。
(2)3.1.6小节关于有理函数的临界点等内容可以放到解析函数的局部性质之后再讲。3.2.2小节可以不讲。
(3)4.1.4小节、4.1.5 小节以及 4.3节可以不讲
(4)5.4节柯西定理的一般形式可以不讲。相应地，第七章关于调和函数只讲单连通区域而不讲多连通区域，9.3节和9.4节也可以不讲。
(5)特殊函数以及椭圆函数的内容仅供参考本书难免有不足之处，欢迎大家多提宝贵意见。
崔贵珍 高 延
2024年4月
第1章 复数
1.1 算术运算
1.2 平方根
1.3 合理性
1.4 共轭和绝对值
1.5 不等式
1.6 复数的几何表示
1.7 高次单位根
1.8 解析几何
1.9 球面表示
习题一
第2章 点集拓扑基础
2.1 集合与元素
2.2 度量空间
2.3 拓扑空间
2.4 连通性
2.5 紧致性
2.6 连续映射
2.7 一致收敛性
2.8 平面区域的连通数
习题二
第3章 复函数
3.1 解析函数
3.2 幂级数的基础概念
3.3 指数函数和三角函数
习题三
第4章 初等函数的几何性质
4.1 分式线性变换
4.2 二次多项式与有理函数
4.3 三次多项式
4.4 指数函数与三角函数
4.5 初等共形映射
习题四
第5章 复积分
5.1 Cauchy 定理
5.2 Cauchy 积分公式
5.3 解析函数的局部性质
5.4 Cauchy 定理的一般形式
习题五
第6章 留数计算
6.1 留数定理
6.2 辐角原理
6.3 定积分计算
习题六
第7章 调和函数
7.1 定义和基本性质
7.2 均值性质
7.3 Poisson 公式
7.4 Schwarz 定理
7.5 对称延拓
习题七
第8章 级数与乘积展开
8.1 幂级数展开式
8.2 部分分式与因子分解
8.3 Γ 函数
8.4 Riemann ζ 函数
8.5 正规族
习题八
第9章 共形映射与Dirichlet问题
9.1 单连通区域上的共形映射
9.2 多边形上的共形映射
9.3 Dirichlet 问题
9.4 多连通区域的典范映射
习题九
第10章 解析延拓
10.1 圆盘上的解析延拓
10.2 沿曲线的解析延拓
10.3 单值性定理
10.4 单值分支
习题十
第11章 椭圆函数
11.1 周期函数
11.2 模群
11.3 椭圆函数的一般性质
11.4 Weierstrass P函数
11.5 函数ζ(z)与σ(z)
11.6 微分方程
11.7 椭圆模函数
习题十一
索引
