几何学

2012年开始, 本人为复旦大学大一本科生讲授《解析几何》课程, 已历十二个春秋.本书是国家教育部101计划规划教材之一, 按照《几何学》教学大纲编撰而成, 可作为综合性大学、师范大学数学系的教材或教学参考书,也可供物理学、工程学等系科的教师和学生参考.

本书的编写基于以下三个思路:

强调公理化方法的思想. 众所周知, 现代数学的每一个分支都是在某个公理体系的基础上, 经过严密的逻辑推理一步步地构建起来的.古希腊数学家Euclid的著名著作《几何原本》就是公理化方法的典范. 要系统地学习大学数学, 理解和掌握公理化方法是必须的. 本人认为,在大一的基础课上让学生尽早地了解Euclid几何公理系统和实数公理系统, 是不无裨益的: 一方面, 虽然学生们在中学阶段已经系统学习了平面几何、立体几何和初等代数的相关知识, 但很多知识都是建立在直观的基础上, 彼此之间的逻辑关系并未理清, 很多学生甚至无意识地犯循环论证的错误;如果这些习惯得不到很好的纠正, 就很难真正地领悟高等数学的精髓. 另一方面, 以上两个公理系统的了解和学习有助于加深内积、外积等向量运算定律的理解,有助于理解Euclid几何和非Euclid几何的联系和区别, 为将来进一步学习抽象代数、实变函数课程中更抽象的公理体系打好基础.

强调几何直观能力的培养.“几何直观”是数学思维和数学能力的重要组成部分, 早已是中小学数学教育的共识. 但现代几何学, 随着研究对象的逐步抽象化,然而, 随着代数学、微积分等学科和几何学的相互融合, 几何学的研究对象也逐步抽象化; 用“画出来”的几何图形来表述问题、解决问题, 会变得越来越困难以至于不可能. 这是不是说“几何直观”在大学数学教学中不再重要呢? 非也! 即便是在当代, 很多几何问题的研究, 也需要借助几何直观,甚至是过分简化的直观来向前推进. 在几何学的教学课程中, 强调“几何直观”, 能够让学生更深入地体会几何概念、思想和方法的本质、精髓和美,熟练掌握几何语言和代数语言的相互转化, 为将来深入学习微分几何、拓扑学、Riemann几何等课程打好坚实的基础.

强调群的观点和思想.“群”是抽象代数学的核心概念, 它是描述对称现象的语言, 与代数、分析、几何、物理等学科都有广泛的联系.大学几何课程中的很多内容都可以用“群”来描述. 例如, 空间中的全体直角坐标系之间的过渡矩阵构成一个群, 旋转曲面、柱面和锥面都是在某个单参数变换群下保持不变的曲面,Euclid几何、仿射几何和射影几何都研究在某个变换群下不变的几何性质和几何量, 等等. 本课程的授课对象——大一本科生尚未系统地学习群论的基础知识, 但根据本人十多年的教学经验来看, 由于课程中涉及到的群都是具体的群, 也涉及不到抽象代数课上有限群分类等深入结果, 学生们是能够理解并掌握相关内容的.

站在这一更高的观点看问题, 往往有高屋建瓴、一览众山小的感觉, 能够让学生更早地领悟高等数学的结构化思想, 为后续课程的学习作铺垫.

全书共分为5章.

在第一章中, 我们通过历史上两本经典的几何学著作——Euclid的《几何原本》和Descartes的《几何学》的回顾和剖析, 简述了公理化几何和解析几何的诞生历程.其主要目的有三: 第一, 强调公理化方法、通过坐标系把几何问题和代数问题相互转化这两种思想在几何学发展史上里程牌似的重大意义; 第二,说明公理化几何的主要研究对象是直线和圆构成的图形, 而解析几何研究是与代数多项式有关的图形, 并分析二者在方法上的区别; 第三, 通过分析《几何原本》第4公理和第5公设, 为第四章“变换群与几何学”和第五章“非Euclid几何”的相关内容打下伏笔. 教师们可以根据实际情况对本章内容加以取舍.

第二章主要介绍向量代数以及平面和直线的方程. 其中第1节是选修内容. 我们通过对有理数集合Dedekind分割, 在有理数的基础上建立了严密的实数理论;再介绍了数学家Hilbert《几何基础》一书中重构的Euclid几何公理系统; 然后, 我们以此为基础, 建立了长度和角度的严密理论. (不建议在教学过程中过多地讲述证明细节,但也不宜把“所有线段和所有正实数一一对应”等结论当作“显然的”, 这样也许会误导学生.) 第2-4节, 我们介绍了向量的概念以及向量之间的加法、数乘、内积、外积和混合积运算的概念, 并推导了向量运算在仿射坐标系和直角坐标系下的表达式. 在这个过程中, 我们引入了“重心坐标”和“Gram行列式”的概念, 它们将在拓扑学和高等代数课程中得到进一步推广. 第5-6节, 我们借助向量代数理论, 推导了平面和直线的方程, 并通过方程, 定量地刻画了点、直线和平面之间的相对位置关系.

第三章主要介绍二次曲线和二次曲面. 在第1节, 我们推导了三类圆锥曲线的方程, 特别地, 通过引入双曲函数的概念而得到了双曲线的参数方程. (这一节的内容与高中的解析几何有重叠部分, 教师们可以酌情处理.) 第2节的主要内容是二次曲线方程的化简及分类. 我们主要借助高等代数工具来处理.(虽然对于二次曲线方程而言, 初等代数工具也足够了, 但相应的方法无法推广到空间中二次曲面乃至更高维情形.) 首先, 我们把方程写成矩阵乘法的形式,

由此二次曲线对应于相应的系数矩阵; 接下来, 我们推导了同一个点在不同的右手直角坐标系下的坐标之间的表达式, 从而推出, 同一条二次曲线在不同坐标系下的系数矩阵是“SE-相似的”,把方程化简的问题转化为矩阵化简的问题; 然后, 我们借助一个有代表性的特例, 说明对称矩阵的特征值和特征向量的几何意义, 以及它们在矩阵化简的过程中的关键性作用;之后, 我们采用分类讨论的方法得到了二次曲线的完整分类, 并利用“不变量”理论得到了判断二次曲线类型的快捷手段. 在第3节, 我们借助“单参数变换群”的观点,用解析法研究了旋转曲面、柱面和锥面的几何性质. 第4节的前半部分与第2节类似, 我们推导了二次曲面的分类结果; 然后重点对一种特殊的非退化二次曲面——双曲抛物面的几何性质进行了研究.

第四章主要讲解著名几何学家Klein用变换群对几何学进行分类的观点. 运用此观点, 我们介绍了两种“线几何”——仿射几何和射影几何以及一种“圆几何”——Mobius几何,探讨了它们之间的区别和联系. 这一章我们采用了几何直观和解析法相结合的方法, 主要探讨问题如下: (1) 如何在平面(或者仿射平面、加点平面)上找到合适的坐标系,从而得到直线(或者仿射直线、广义圆)的方程? (2) 仿射变换(或者射影变换、保圆变换)的表达式和表示矩阵是什么? (3) 几个点的取值可以唯一确定一个仿射变换(或者射影变换、保圆变换)?(4) 有哪些常见的几何量, 在仿射变换群(或者射影变换群、保圆变换群)下保持不变? (5) 二次曲线的仿射分类和射影分类是怎样的?

在第五章, 我们从《几何原本》的第5公设, 即平行公设出发, 介绍了非Euclid的创立和发展. 我们引入了“度量空间”的概念, 并在此框架下构造了抛物几何、椭圆几何和双曲几何的若干模型, 即充分小的“三角形”内角和的完备曲面. 关于抛物几何, 我们通过对“等距覆盖映射”和“等距覆盖变换”的研究, 证明此类曲面必等距同构于平面、圆柱面、环面、扭转柱面和Klein瓶之一.关于椭圆几何, 我们首先引入了球面模型, 并通过球极投影和球心投影, 介绍了另外两个模型: 复射影直线和椭圆平面, 二者分别和M\"{o}bius几何和射影几何密切相关. 之后引入双曲几何模型的思路是类似的. 首先介绍Minkowski模型——半径为纯虚数的“球面”;再通过“球心投影”和“球极投影”, 引入另外两个等价模型: Cayley-Klein模型和Poincar\'{e}模型, 二者分别通过射影几何和M\"{o}bius几何中的重要不变量——交比和复交比描述.最后, 我们对三种几何作了总结, 说明从微分几何的观点来看, 它们都是在研究Gauss曲率为常数的完备2维流形.

本书的第一章到第四章是在本人为复旦大学大一本科生(普通班)主讲《解析几何》的多年教学实践的基础上编写而成的, 可以在64学时讲授完毕;

而第五章是本人为大一英才班主讲《经典数学思想II》的教学实践的结晶, 可以在24学时讲授完毕. 建议教师们可以根据实际情况选取部分内容进行教学,

例如, 如果只讲授第四章的仿射几何和射影几何, 则第五章中的椭圆几何就只需介绍球面模型和椭圆平面模型, 而双曲几何就只需介绍Minkowski模型和Cayley-Klein模型.

限于本人的水平和经验, 加上时间仓促, 错误和不妥指出在所难免, 恳请专家、学者和读者们提出宝贵意见.