数理经济学

数理经济学在教育部经济学“101 计划” 专业核心课程体系中的定位为三门“术高” 课程之一, 其目标是通过深入探讨数理经济学中的理论、方法和知识创新, 构建中国自主的经济学知识体系。本课程内容设置力求满足“高阶性、创新性、挑战度” 要求, 包括现代经济学研究所需的数学知识, 以及数学概念与方法在经济学特别是经济理论中的各种典型应用, 涵盖动态优化、随机过程、博弈论及一般均衡等内容, 推动经济学理论和实践相结合, 为未来的经济学创新人才打下坚实的理论和方法基础。这门课程不仅强调数理工具的掌握, 而且进一步思考上述方法的应用范畴和局限性, 进而探讨中国自主经济学知识体系重要论题所需要的数学方法, 是推动中国经济学理论走向国际前沿的重要课程之一。

本课程紧密联系经济学“101 计划” 其他课程对应的领域, 衔接相应的数理经济学议题, 包括微观经济学数学理论、宏观经济学数学理论和随机金融数学理论。在每一部分的内容中, 除了介绍自成系统的经济数学知识体系, 还通过回顾数理经济学学科发展脉络中的理论创新、方法创新和知识创新示例, 展示如何创造性地应用数学概念与方法于经济理论。具体而言, 本书内容包括预备知识、凸分析理论、优化理论、对应理论、不动点定理及其应用、组合优化、离散时和连续时动态优化方法、离散时和连续时随机金融。各章之间相互联系、逐层深入, 形成一个完整的数理经济学知识体系, 帮助读者全面理解和应用数理经济学工具。本书共包含11 章。各章主要内容如下:

第1章作为后续模块的基础, 主要介绍一些基本的预备知识, 包括实数和欧氏空间的拓扑性质, 以及函数的相关性质。首先介绍了集合和函数的定义, 引入线性结构和度量结构来介绍向量空间和度量空间。然后在度量空间上引入拓扑结构, 介绍开集、闭集、序列极限等概念, 特别是通过实数中的柯西序列来介绍其完备性。最后介绍函数的连续性与可微性, 并引入魏尔斯特拉斯最大值定理、泰勒展开定理和隐函数定理等基础工具, 这些概念和定理是后续优化理论和比较静态分析的重要基础。

第2章运用数学工具介绍了广泛用于经济学和金融学模型的凸分析。首先介绍了凸集的定义和超平面分离定理, 然后定义了凹函数和拟凹函数, 分别总结它们的特性, 并展示了在经济学模型中的具体应用案例。

第3章主要介绍欧氏空间上连续可微函数的优化理论, 主要包括无约束优化理论、带等式约束条件以及带不等式约束条件的优化理论, 并提出这些优化问题解存在的条件和求解方法。本章是本书中最基础和最核心的内容之一, 是后续几章, 比如第４章中的最优解的比较静态分析理论、第5 章中纯交换经济中的竞争均衡理论、第7, 8 章中动态优化理论的基础。

第4章介绍了对应理论。在上一章中研究了静态优化模型并提出了最优解总是存在的条件, 本章进一步讨论带参数的优化问题, 最优解会如何随着参数的变化而变化, 这是关于最优解的比较静态分析中研究的主要内容。

第5章介绍了不动点定理及其应用。前几章介绍的条件优化问题只考虑一个决策者, 当涉及多个决策者时, 需要考虑博弈论、一般均衡等经济理论。本章依次介绍两个不动点定理(布劳维尔不动点定理, 以及角谷不动点定理), 然后作为其应用, 介绍了一类博弈模型中纳什均衡的结论, 还有纯交换经济模型中竞争均衡的存在性, 以及福利经济学第一、第二定理。

第6章介绍了组合优化。经济学中遇到的多数理论都假设商品种类给定、数量无限可分。该假设对于有些商品, 比如米面和水电等,具有很强的合理性。但是对于房子和汽车等商品则明显不合理, 因为我们无法购买0.7 套房。研究离散对象的数学称为离散数学, 背后的优化问题称为离散优化或组合优化, 本章系统介绍组合优化及其应用, 并介绍一些求解算法。

第7章介绍了离散时间动态规划方法及其在宏观经济学中的基本应用。依次介绍有限期和无限期离散时动态优化问题和求解方法,运用压缩映射与不动点定理证明特定条件下优化问题解的存在性与唯一性, 并推导值函数的一些性质。

第8 章介绍了连续时间随机动态优化问题的基本设定和主要解法。首先, 本章通过具体案例探讨了连续时间下经济决策问题, 比如消费与储蓄决策、固定投资成本、最优经济结构转换模型等。然后进一步讨论个体动态决策对一般均衡模型的影响, 并且讨论了相关经济政策的设计和优化。由于这些模型常难以求得解析解, 因此本章介绍了多种数值算法。最后介绍连续时间动态异质性模型的基本结构, 微观主体决策与宏观经济结构变迁的关系, 尤其是要素分布和产业结构变化的影响。

第9章介绍了金融领域中的基本概率和随机过程知识。涵盖了事件空间、概率空间、数学期望、条件期望等概念, 深入探讨了马尔可夫过程、极限定理(如大数定律和中心极限定理) 等随机过程理论, 并介绍了非线性期望空间中的G-正态分布。这些内容为后续两章的随机金融理论打下了数学基础。

第10 章讨论了离散时间金融市场理论, 重点介绍了无套利定价原理和一般均衡资产定价理论。具体包括: 无限维状态空间下无套利资产定价率的数学表示定理及其证明; 投资者序贯选择问题解的存在、唯一性刻画定理及其证明; 金融学汇总问题及不完备市场下代表性投资者偏好的构建及其福利经济学解释; 基于代表性投资者偏好的一般均衡资产定价模型; 欧式期权定价率的隐含信息和定价模型。

第11章探讨了连续时间金融理论, 重点介绍了布朗运动及其相关性质, 如布朗运动的生成、首达时间、几何布朗运动等。还介绍了随机微分方程及其应用, 特别是布莱克– 舒尔斯期权定价模型。最后介绍了无套利市场和风险中性测度的概念。

本书适合作为经济学本科的数理经济学课程教材。本书完整教学时长预计为两个学期。教师也可以酌情根据教学情况对章节进行选取。如果教学时间有限, 也可选取本书的1—5 章以及第7 章, 作为一门一学期的数理经济学本科生课程。同时, 本书的1—4 章以及9—11 章, 也可以作为本科金融数学课程的教科书。